2004-全国卷IV文-03 单-正三棱柱体积

本题导读

本题考查正三棱柱的体积，以及对角线与底面的夹角。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 正三棱柱侧面的一条对角线长为 $2$，且与底面成 $45^{\circ }$ 角，则此三棱柱的体积为()

A. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{6}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{6}}{6}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对角线在底面与高方向的投影分别为底面边长 $a$、高 $h$。
2. $a=2\cos 45^{\circ }=\sqrt{2}$，$h=2\sin 45^{\circ }=\sqrt{2}$。
3. 体积 $V=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\cdot h$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设正三棱柱底面边长为 $a$、高为 $h$.侧面对角线长为 $2$，其在底面和高方向的分量分别为 $a$ 和 $h$，且与底面成 $45^{\circ }$ 角，故 $a=2\cos 45^{\circ }=\sqrt{2}$，$h=2\sin 45^{\circ }=\sqrt{2}$.底面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$，体积 $V=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱柱体积
2. 核心方法：侧面对角线长 $2$ 与底面成 $45^{\circ }$：底面边长 $a=2\cos 45^{\circ }=\sqrt{2}$、高 $h=2\sin 45^{\circ }=\sqrt{2}$；$V=S_{\text{底}}h=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2\cdot h=\frac{\sqrt{6}}{2}$
3. 避坑指南：对角线在底面与高方向的投影分别是 $a$ 和 $h$；体积是底面积乘高，别忘底面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于正三棱柱的体积，教材”空间几何体”
2. 结论推广: 一般化：侧面对角线与其在底面、高的投影构成直角三角形；对角线长 $l$ 与底面夹角 $\theta$ 时，底面边长 $l\cos \theta$、高 $l\sin \theta$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-04 单-三棱柱截割求体积
• 2009-天津文-12 填-三视图三棱柱体积
• 2004-全国卷III文-10 单-正三棱锥体积