2005-全国卷III文-04 单-三棱柱截割求体积

本题导读

本题考查棱柱、棱锥的体积计算。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 设三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的体积为 $V$，$P$、$Q$ 分别是侧棱 $A{A}_1$、$C{C}_1$ 上的点，且 $PA=Q{C}_1$，则四棱锥 $B-APQC$ 的体积为()

A. $\frac{1}{6}V$　　　　　　B. $\frac{1}{4}V$　　　　　　C. $\frac{1}{3}V$　　　　　　D. $\frac{1}{2}V$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $u=\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{C{C}_1}$，$\overrightarrow{AP}=tu$，由 $PA=Q{C}_1$ 得 $\overrightarrow{CQ}=(1-t)u$。
2. 四边形 $APQC$ 面积 $=\frac{1}{2}|u\times \overrightarrow{AC}|$，$B$ 到该平面距离 $H$。
3. 四棱锥体积 $=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}|u\times \overrightarrow{AC}|\cdot H=\frac{1}{6}|\overrightarrow{AB}\cdot (u\times \overrightarrow{AC})|=\frac{1}{3}V$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设 $u=\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{C{C}_1}$，并设 $\overrightarrow{AP}=tu$（$0\le t\le 1$），$\overrightarrow{CQ}=su$． 由 $PA=Q{C}_1$ 得 $t|u|=(1-s)|u|$，故 $s=1-t$，从而 $AP\parallel CQ$ 且 $AP+CQ=A{A}_1$． 四边形 $APQC$ 位于由 $u$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 张成的平面内，面积 $S_{APQC}=\frac{1}{2}|u\times \overrightarrow{AC}|$． 设 $B$ 到平面 $APQC$ 的距离为 $H$，则四棱锥体积 $V_{B-APQC}=\frac{1}{3}{S}_{APQC}H=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{AB}\cdot (u\times \overrightarrow{AC})\right|$． 而三棱柱体积 $V=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}\times u)\right|$，两混合积绝对值相等，故四棱锥体积为 $\frac{1}{3}V$． 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱柱截割求体积

核心方法：设 $t=\frac{PA}{A{A}_1}$，四棱锥 $B-APQC$ 体积 $=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}\times u)\right|=\frac{1}{3}V$

避坑指南：用混合积把四棱锥体积与三棱柱体积 $V=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}\times u)|$ 对比，得 $\frac{1}{3}V$；别直观估计

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱柱截割求体积是空间向量体积题

结论推广：用混合积统一表示三棱柱与四棱锥体积再求比值

方法推广：设参数 $t$ 表示点位置，混合积求体积比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2009-大纲Ⅰ文-09 单-三棱柱异面直线