2004-全国卷II文-03 单-三次函数切线方程

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线方程的求法。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 曲线 $y=x^3-3x^2+1$ 在点 $(1,-1)$ 处的切线方程为()

A. $y=3x-4$　　　　B. $y=-3x+2$　　　　C. $y=-4x+3$　　　　D. $y=4x-5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$，$f^{\prime }(1)=-3$。
2. 切线过 $(1,-1)$：$y+1=-3(x-1)$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=x^3-3x^2+1$，则 $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$，故 $f^{\prime }(1)=-3$.切线过点 $(1,-1)$，方程为 $y+1=-3(x-1)$，即 $y=-3x+2$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三次函数切线方程
2. 核心方法：$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$，$f^{\prime }(1)=-3$；切线 $y+1=-3(x-1)$，即 $y=-3x+2$
3. 避坑指南：切线斜率是导数值 $f^{\prime }(1)=-3$（负号别丢）；点 $(1,-1)$ 在曲线上验证后代点写方程

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数的几何意义，教材”导数的几何意义”切线方程
2. 结论推广: 一般化：曲线 $y=f(x)$ 在 $(x_0,f(x_0))$ 处切线 $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$；先验证点在曲线上，再求导代值写点斜式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-03 单-导数求切线方程
• 2007-湖北文-13 填-导数的几何意义切线
• 2008-新课标Ⅰ文-21 解-导数切线定值