2004-上海卷理-06 填-平面向量的共线与同向

本题导读

本题考查平面向量的共线与同向，以及向量的模长公式。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 已知点 $A(1,-2)$，若向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\vec{a}=(2,3)$ 同向， $|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{13}$，则点 $B$ 的坐标为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用同向共线设未知数：因为 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\vec{a}$ 同向，可以设 $\overrightarrow{AB}=\lambda \vec{a}=(2\lambda ,3\lambda )$，其中参数 $\lambda$ 必须满足 $\lambda >0$。
2. 通过模长公式解出系数：根据向量模长公式 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(2\lambda {)}^2+(3\lambda {)}^2}=2\sqrt{13}$，解出一元一次方程求出 $\lambda$。
3. 点坐标转化：由 $\overrightarrow{AB}=B-A$，将求得的向量坐标加上点 $A$ 的坐标，即得点 $B$ 的坐标。

✅【答案】

Success

$(5,4)$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：建立数乘向量方程 因为向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\vec{a}=(2,3)$ 同向， 根据共线向量基本定理，存在唯一正实数 $\lambda >0$，使得： $\overrightarrow{AB}=\lambda \vec{a}=(2\lambda ,3\lambda )$

• 第二步：利用模长条件求解 $\lambda$ 计算向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模长： $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(2\lambda {)}^2+(3\lambda {)}^2}=\sqrt{4{\lambda }^2+9{\lambda }^2}=\sqrt{13{\lambda }^2}$ 由于 $\lambda >0$，可得： $|\overrightarrow{AB}|=\lambda \sqrt{13}$ 已知 $|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{13}$，代入得： $\lambda \sqrt{13}=2\sqrt{13}⟹\lambda =2$

• 第三步：求点 $B$ 的坐标 将 $\lambda =2$ 代回向量坐标中，得到： $\overrightarrow{AB}=(2\times 2,3\times 2)=(4,6)$ 设点 $B$ 的坐标为 $(x_B,y_B)$，由向量的坐标概念可知 $\overrightarrow{AB}=B-A$： $(x_B-1,y_B-(-2))=(4,6)$ 建立一元一次方程组： $\{\begin{array}{l}{x}_B-1=4⟹x_B=5\\ y_B+2=6⟹y_B=4\end{array}$ 故点 $B$ 的坐标为 $(5,4)$。

答：$(5,4)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共线向量的坐标表示、向量模长公式、点与向量的线性运算。
2. 核心方法：待定系数法（数乘消元）。
3. 避坑指南：
   • 必须严谨区分“共线”与“同向”的区别。若题目只给“共线”，则系数 $\lambda$ 可正可负，需分类讨论；但本题明确限定为“同向”，故 $\lambda$ 必须严格大于0。若忽略同向条件算成双解，将导致失分。
   • 最后的步骤是求点 $B$ 的坐标而非向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标，不要因粗心直接将 $(4,6)$ 作为答案写入。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典解析几何平面向量基本运算题。
2. 结论推广: 一般地，若已知点 $A$ 坐标及与已知向量 $\vec{a}$ 同向的向量 $\overrightarrow{AB}$ 的模长为 $M$，则对应的单位数乘系数恒为 $\lambda =\frac{M}{|\vec{a}|}$。计算可得点 $B=A+\frac{M}{|\vec{a}|}\vec{a}$。直接代入本题： $B=(1,-2)+\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}}(2,3)=(1,-2)+2(2,3)=(1+4,-2+6)=(5,4)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-四川文-18 解-向量与解三角形