2004-上海卷文-04 填-等比数列极限

本题导读

本题考查无穷等比数列的极限，以及子数列的公比。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 设等比数列 $\{a_n\}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）的公比 $q=-\frac{1}{2}$，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{2n-1}\right)=\frac{8}{3}$，则 $a_1=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇数项是首项 $a_1$、公比 $q^2=\frac{1}{4}$ 的等比数列。
2. 和的极限 $=\frac{a_1}{1-1/4}=\frac{4a_1}{3}$。
3. $\frac{4a_1}{3}=\frac{8}{3}$，$a_1=2$。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

奇数项 $a_1,a_3,a_5,\cdots$ 构成首项为 $a_1$、公比为 $q^2=\frac{1}{4}$ 的等比数列，因此 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_1+a_3+\cdots +a_{2n-1}\right)=\frac{a_1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4a_1}{3}$.由题设 $\frac{4a_1}{3}=\frac{8}{3}$，解得 $a_1=2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列极限
2. 核心方法：奇数项 $a_1,a_3,\dots$ 是首项 $a_1$、公比 $q^2=\frac{1}{4}$ 的等比数列，和的极限 $\frac{a_1}{1-1/4}=\frac{4a_1}{3}=\frac{8}{3}$，$a_1=2$
3. 避坑指南：$|q|<1$ 才收敛；奇数项公比是 $q^2$ 而非 $q$；极限和公式 $\frac{a_1}{1-q^2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于无穷等比数列求和，教材”数列的极限”
2. 结论推广: 一般化：$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}$（$|q|<1$），子数列公比取 $q^2$；挑出子数列（奇数项/偶数项）定首项与公比，再用极限和公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结 类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-19 解-无穷等比数列与数列极限

• 2008-上海卷文-14 单-无穷等比数列求和

• 2012-上海卷文-07 填-无穷等比数列求和