2003-辽宁卷-04 单-平面向量的线性运算

本题导读

本题核心考查平面向量的加法运算（平行四边形法则）与共线向量定理的综合应用。解题关键在于先利用菱形的几何特征将对角线向量 $\overrightarrow{AC}$ 用邻边向量表示出来，再根据点在内部线段上的位置确定系数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 已知四边形 $ABCD$ 是菱形，点 $P$ 在对角线 $AC$ 上（不包括端点 $A、C$），则 $\overrightarrow{AP}=$()

A. $\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$, $\lambda \in (0,1)$　　　　　　　　　　B. $\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$, $\lambda \in \left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

C. $\lambda (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})$, $\lambda \in (0,1)$　　　　　　　　　　D. $\lambda (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC})$, $\lambda \in \left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对角线向量合成：因为四边形 $ABCD$ 是菱形，它首先是一个平行四边形。根据平面向量加法的平行四边形法则，从相同始点出发的对角线向量等于两条邻边向量的和，即 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$。

2. 共线定理约束：点 $P$ 在对角线 $AC$ 上，说明向量 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 方向相同且共线。根据共线向量定理，存在实数 $\lambda$ 使得 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AC}$。

3. 判定系数范围：由于点 $P$ 在线段 $AC$ 内部，且“不包括端点 $A、C$”，说明动点 $P$ 的拉伸长度严格介于零向量与全长向量之间，从而确定参数 $\lambda$ 的开区间。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为四边形 $ABCD$ 是菱形，所以 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$。 根据平面向量加法的平行四边形法则，对角线向量 $\overrightarrow{AC}$ 可以表示为： $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

因为点 $P$ 在对角线 $AC$ 上，所以向量 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 共线。 根据共线向量定理，必然存在实数 $\lambda$ 使得： $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AC}=\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$

又因为点 $P$ 在线段 $AC$ 上，且明确限定不包括端点 $A$ 和 $C$：

• 当点 $P$ 与 $A$ 重合时， $\lambda =0$；
• 当点 $P$ 与 $C$ 重合时， $\lambda =1$。 因此，点 $P$ 在线段内部移动时，标量系数 $\lambda$ 的取值范围被严格限定在开区间内，即： $\lambda \in (0,1)$

将系数范围与向量表达式组合，得到： $\overrightarrow{AP}=\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}),\lambda \in (0,1)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平行四边形法则的向量几何合成，共线向量的数乘表示 $\vec{a}=\lambda \vec{b}$，线段内分点系数的范围判定。
2. 核心方法：数形结合法。
3. 避坑指南：

   • 极易受菱形特例（如各边夹角为 $90^{\circ }$ 的正方形）的直观干扰，盲目去计算带有根号 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的几何模长，从而错选 B 或 D。要明确，向量的共线线性比例与两邻边的夹角大小、边长各是多少均无关。

   • 注意区分向量的减法形式。 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$，这代表的是另一条对角线，与题意不符。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于平面向量板块中的基础概念题，直接考查教材中关于“平行四边形法则”与“共线向量定理”空间向平面内分点位置映射的性质。
2. 结论推广: 在任意平行四边形 $ABCD$ 中，若点 $P$ 在对角线 $AC$ 上且分线段的比为 $\frac{AP}{PC}=\frac{\lambda }{1-\lambda }$，则恒满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\lambda \overrightarrow{AD}$。当 $\lambda \in (0,1)$ 时点在内部；当 $\lambda >1$ 或 $\lambda <0$ 时点在对角线的延长线或反向延长线上。此结论构成了斜坐标系及仿射几何中点共线结论的代数基石。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷文-08 单-向量共线的判定
• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-四川文-18 解-向量与解三角形