2005-山东卷文-08 单-向量共线的判定

本题导读

本题考查向量的线性运算，以及三点共线的向量判定。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 已知向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$，且 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}+2\vec{b}$，$\overrightarrow{BC}=-5\vec{a}+6\vec{b}$，$\overrightarrow{CD}=7\vec{a}-2\vec{b}$，则一定共线的三点是()

A. $A$、$B$、$D$　　　B. $A$、$B$、$C$　　　C. $B$、$C$、$D$　　　D. $A$、$C$、$D$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$。
2. 合并得 $3\vec{a}+6\vec{b}=3\overrightarrow{AB}$。
3. $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 共线且共点 $A$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由向量的加法，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(\vec{a}+2\vec{b})+(-5\vec{a}+6\vec{b})+(7\vec{a}-2\vec{b})=3\vec{a}+6\vec{b}=3(\vec{a}+2\vec{b})=3\overrightarrow{AB}$．因而 $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 平行，又有公共点 $A$，点 $A$，$B$，$D$ 共线，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量共线的判定

核心方法：闭合链 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{AB}$

避坑指南：共线看系数是否成比例；$A,B,D$ 共线不代表 $B,C$ 也在——逐点核对别想当然

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 平面向量

结论推广：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=3\overrightarrow{AB}=3(\vec{a}+2\vec{b})$

方法推广：判共线优先走”首尾相接闭合链”：把目标向量用已知向量线性表出后看比例

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 1981-全国理-08 解-二面角中的线线角与线面角
• 2018-全国卷III文-13 填-向量线性运算
• 2016-全国卷II文-13 填-向量