2003-河南卷-21 解-向量定向动点轨迹

本题导读

本题考查向量与轨迹方程。核心在于消去参数得到椭圆轨迹并讨论焦点。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 已知常数 $a>0$，向量 $\mathbf{c}=(0,a)$，$\mathbf{i}=(1,0)$，经过原点 $O$ 以 $\mathbf{c}+\lambda \mathbf{i}$ 为方向向量的直线与经过定点 $A(0,a)$ 以 $\mathbf{i}-2\lambda \mathbf{c}$ 为方向向量的直线相交于点 $P$，其中 $\lambda \in \mathbf{R}$.试问：是否存在两个定点 $E$，$F$，使得 $|PE|+|PF|$ 为定值.若存在，求出 $E$，$F$ 的坐标；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出两直线方程，消去 $\lambda$ 得点 $P$ 轨迹。
2. 轨迹为椭圆（去掉原点），按 $a$ 与 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 讨论焦点。

✅【答案】

Success

存在（$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时不存在两个不同定点）；$E$，$F$ 坐标按 $a$ 分段，见解析

✍【详细解析】

Abstract

两直线方向向量分别为 $(\lambda ,a)$ 和 $(1,-2\lambda a)$，其方程分别为 $\lambda y=ax$ 与 $y-a=-2\lambda ax$.消去 $\lambda$ 得 $2a^2{x}^2+{\left(y-\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4}$，即点 $P$ 的轨迹是椭圆（去掉原点）．当 $0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时横半轴为长半轴，焦半距 $c=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}-a^2}$，两焦点为 $\left(\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}-a^2},\frac{a}{2}\right)$；当 $a>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时纵半轴为长半轴，焦半距 $c=\frac{1}{2}\sqrt{a^2-\frac{1}{2}}$，两焦点为 $\left(0,\frac{a\pm \sqrt{a^2-\frac{1}{2}}}{2}\right)$；当 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时轨迹为圆，不存在满足题意的两个不同定点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量定向动点轨迹
2. 核心方法：两直线方程消 $\lambda$ 得 $2a^2{x}^2+{\left(y-\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4}$，按 $a$ 与 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 讨论焦点
3. 避坑指南：消参得轨迹椭圆，长半轴随 $a$ 分段讨论

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材轨迹方程
2. 结论推广: 一般地，双动直线交点轨迹消参数得圆锥曲线；消参得轨迹，按参数讨论焦点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-22 解-矩形动点轨迹与椭圆
• 2005-湖南卷文-21 解-椭圆离心率与对称点综合
• 2003-北京文-18 解-椭圆方程准线与轨迹