2003-北京文-18 解-椭圆方程准线与轨迹

本题导读

本题考查椭圆的方程与准线。核心在于求出交点 M 的坐标后代入双曲线方程验证。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 如图，$A_1$，$A_2$ 为椭圆的两个顶点，$F_1$，$F_2$ 为椭圆的两个焦点.

(1) 写出椭圆的方程及准线方程；

(2) 过线段 $OA$ 上异于 $O$，$A$ 的任一点 $K$ 作 $OA$ 的垂线，交椭圆于 $P$，$P_1$ 两点，直线 $A_{1}P$ 与 $A{P}_1$ 交于点 $M$.求证：点 $M$ 在双曲线 $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$ 上.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由图 $A_1(-5,0)$、$A(5,0)$、$F_1(-4,0)$、$F_2(4,0)$ 得 $a=5$，$c=4$，$b=3$。
2. 设 $K(x_0,0)$，$P(x_0,y_0)$，$P_1(x_0,-y_0)$，写出 $A_{1}P$ 与 $A{P}_1$ 的方程，联立解出 $M$，代入双曲线方程。

✅【答案】

Success

(1) 椭圆 $x^2/25+y^2/9=1$，准线 $x=\pm \frac{25}{4}$；(2) 点 $M$ 在双曲线上（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由图可知 $a=5$，$c=4$，所以 $b^2=a^2-c^2=9$.椭圆的方程为 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，准线方程为 $x=\pm \frac{25}{4}$. (2) 设 $K$ 点坐标为 $(x_0,0)$（$0<x_0<5$），点 $P$、$P_1$ 的坐标分别记为 $(x_0,y_0)$、$(x_0,-y_0)$，其中 $y_0>0$，且 $\frac{x_0^2}{25}+\frac{y_0^2}{9}=1$.直线 $A_{1}P$ 的方程为 $y=\frac{y_0}{x_0+5}(x+5)$，直线 $A{P}_1$ 的方程为 $y=\frac{-y_0}{x_0-5}(x-5)$.两式联立解得交点 $M$：$\left(\frac{25}{x_0},\frac{5y_0}{x_0}\right)$.设 $M(x,y)$，则 $x=\frac{25}{x_0}$，$y=\frac{5y_0}{x_0}$，即 $x_0=\frac{25}{x}$，$y_0=\frac{x_{0}y}{5}=\frac{5y}{x}$.代入 $\frac{x_0^2}{25}+\frac{y_0^2}{9}=1$ 得 $\frac{25}{x^2}+\frac{25y^2}{9x^2}=1$，即 $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$.所以点 $M$ 在双曲线 $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$ 上。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆方程准线与轨迹
2. 核心方法：(1) $a=5$，$c=4$，$b=3$，椭圆 $x^2/25+y^2/9=1$，准线 $x=\pm \frac{25}{4}$；(2) 设 $K(x_0,0)$、$P(x_0,y_0)$、$P_1(x_0,-y_0)$，写出 $A_{1}P$ 与 $A{P}_1$ 的方程联立解 $M$，代入 $x^2/25-y^2/9=1$ 成立
3. 避坑指南：准线 $x=\pm a^2/c$；交点 $M$ 坐标代入双曲线方程验证

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材椭圆与双曲线的标准方程
2. 结论推广: 一般地，由交点坐标满足曲线方程即证点在曲线上；求出交点坐标后代入验证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 2005-湖南卷文-21 解-椭圆离心率与对称点综合
• 2005-北京春文-10 填-椭圆离心率与准线
• 2007-大纲Ⅱ文-11 单-椭圆离心率