2001-新课标卷文-06 单-两点距离直线方程

本题导读

本题考查直线的方程，以及两点到定点距离相等时的对称关系。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 设 $A$，$B$ 是 $x$ 轴上的两点，点 $P$ 的横坐标为 $2$ 且 $|PA|=|PB|$.若直线 $PA$ 的方程为 $x-y+1=0$，则直线 $PB$ 的方程是()

A. $x+y-5=0$　　　B. $2x-y-1=0$　　　C. $2y-x-4=0$　　　D. $2x+y-7=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $x-y+1=0$ 且 $x=2$ 得 $P(2,3)$。
2. $A,B$ 在 $x$ 轴上且到 $P$ 等距，$PA$ 与 $PB$ 关于 $x=2$ 对称，斜率互为相反数。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

把 $x=2$ 代入 $x-y+1=0$ 得 $y=3$，故 $P(2,3)$．因 $A,B$ 在 $x$ 轴上且 $|PA|=|PB|$，直线 $PA$ 与 $PB$ 关于直线 $x=2$ 对称，故 $PB$ 的斜率 $k_{PB}=-k_{PA}=-1$，且过 $P(2,3)$，得 $PB$：$y-3=-(x-2)$，即 $x+y-5=0$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两点距离直线方程

核心方法：$P(2,1)$ 满足 $x-y+1=0$；由 $|PA|=|PB|$ 知 $PB$ 与 $PA$ 关于 $x=2$ 对称，$PB$ 斜率 $=-1$，过 $(2,1)$ 得 $x+y-5=0$

避坑指南：两点到 $P$ 等距，$PA,PB$ 关于过 $P$ 的竖直线对称

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直线的方程与对称

结论推广：一般地，两点到点等距时两直线关于中垂线对称

方法推广：用对称性定斜率

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-01 单-直线关于x轴对称
• 2004-全国卷II文-04 单-圆关于直线的对称
• 2003-北京文-18 解-椭圆方程准线与轨迹