2003-江苏卷-05 单-平面向量的线性运算

本题导读

本题主要考查平面向量在三角形几何心问题中的应用。解题的关键在于识别出 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$ 与 $\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ 分别是沿边 $AB$ 和 $AC$ 方向的单位向量，两单位向量相加所构成的向量共线于 $\angle BAC$ 的平分线，从而确定动点 $P$ 的轨迹特征。

📌【题干】

Question

（2003年江苏卷） $O$ 是平面上一动点，$A、B、C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$，$\lambda \in [0,+\infty )$，则 $P$ 的轨迹一定通过 $△ABC$ 的()

A. 外心　　　　　B. 内心　　　　　C. 重心　　　　　D. 垂心

🔍【思路分析】

破题导航

1. 向量移项平移：将已知向量表达式进行平移变形，化为 $\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$，即 $\overrightarrow{AP}=\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$。这表明轨迹的起点在顶点 $A$。

2. 理解单位向量的几何物理意义：项 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$ 表示与向量 $\overrightarrow{AB}$ 同方向的单位向量，记为 ${\vec{e}}_1$；项 $\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ 表示与向量 $\overrightarrow{AC}$ 同方向的单位向量，记为 ${\vec{e}}_2$。

3. 结合菱形对角线判定方向：根据向量加法的平行四边形法则，两个模长相等的单位向量 ${\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2$ 相加所组成的四边形是一个菱形。菱形的对角线具有平分内角的几何特征。

4. 定位三角形五心：由于 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\angle BAC$ 的角平分线方向共线且 $\lambda \ge 0$，说明动点 $P$ 的轨迹是以 $A$ 为端点、平分内角 $\angle BAC$ 的射线。依据三角形内心的定义，三内角平分线的交点即为内心，故该轨迹必经过内心。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

对已知向量公式进行变形： $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)⟹\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$

根据向量减法的三角形法则，上式可写作： $\overrightarrow{AP}=\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$

令 ${\vec{e}}_1=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$， ${\vec{e}}_2=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$。 由此可知， ${\vec{e}}_1$ 与 ${\vec{e}}_2$ 分别是沿着 $AB$ 方向和 $AC$ 方向的单位向量，其模长满足： $|{\vec{e}}_1|=|{\vec{e}}_2|=1$

根据平行四边形法则，以 ${\vec{e}}_1$ 和 ${\vec{e}}_2$ 为邻边构造的平行四边形四个边长均为 1，是一个菱形。 由于菱形的对角线平分它所对应的内角，所以两向量之和 ${\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2$ 的方向沿着 $△ABC$ 中内角 $\angle BAC$ 的平分线方向。

又因为 $\lambda \in [0,+\infty )$， 所以向量 $\overrightarrow{AP}=\lambda ({\vec{e}}_1+{\vec{e}}_2)$ 表示一条以 $A$ 为起点、沿着 $\angle BAC$ 角平分线向外延伸的射线。

根据三角形心几何性质： 三角形的内心是三个内角平分线的交点。 因此，内角 $\angle BAC$ 的平分线必然经过该三角形的内心，即动点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ABC$ 的内心。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：单位向量的定义格式 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$，平行四边形法则在菱形（模长相等）下的内角平分特征，三角形五心的向量特征结构。
2. 核心方法：几何方向化归法。不进行具体的代数坐标运算，直接根据加法合成后的方向向量性质判定其几何轨迹线属性。
3. 避坑指南：

   • 极易混淆各心对应的基本向量公式。

   • 重心对应的是中线：$\overrightarrow{AP}=\lambda (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，因为没有除以模长，合成的平行四边形对角线经过对边的中点。本题由于除了模长变为单位向量，故对应的是内心而非重心（选 C 为典型错项）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的向量与传统平面几何心交汇的经典题目，重点在于考查考生对向量作为“既有大小又有方向”的数学工具在描述线段方向性质（特别是角平分线）时的桥梁作用。
2. 结论推广: 在 $△ABC$ 中，记动点为 $P$。现给出以下几种常见的等价射线轨迹方向向量通式：
   • 内心型：$\overrightarrow{AP}=\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)⟺$ 射线沿角平分线方向。
   • 重心型：$\overrightarrow{AP}=\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{2}+\frac{\overrightarrow{AC}}{2}\right)=\mu (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})⟺$ 射线沿 $BC$ 边中线方向。
   • 垂心型：$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BC}=0⟺$ 轨迹在过 $A$ 点的垂线上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2006-陕西文-08 单-向量判定三角形形状
• 2006-四川文-04 单-向量数量积比较
• 2006-四川文-18 解-向量与解三角形