2006-陕西文-08 单-向量判定三角形形状

本题导读

本题考查向量，以及单位向量。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 已知非零向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 满足 $\left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 且 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\cdot \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{2}$，则 $△ABC$ 为()

A. 三边均不相等的三角形　　　　　　　　　　　　B. 直角三角形

C. 等腰非等边三角形　　　　　　　　　　　　　　D. 等边三角形

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $\mathbf{u}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$、$\mathbf{v}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，$b=|\overrightarrow{AB}|$、$c=|\overrightarrow{AC}|$。
2. $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\cos \angle BAC=\frac{1}{2}$，故 $\angle BAC=60^{\circ }$。
3. $\overrightarrow{BC}=c\mathbf{v}-b\mathbf{u}$，$(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 展开得 $\frac{3}{2}(c-b)=0$，故 $b=c$，即 $AB=AC$。
4. $AB=AC$ 且 $\angle A=60^{\circ }$，由余弦定理 $BC=AB$，等边三角形。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

令 $\mathbf{u}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\mathbf{v}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，$b=|\overrightarrow{AB}|$，$c=|\overrightarrow{AC}|$． 由题意 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\frac{1}{2}$，且 $\overrightarrow{BC}=c\mathbf{v}-b\mathbf{u}$，因此 $0=(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot (c\mathbf{v}-b\mathbf{u})=c(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+\mathbf{v}\cdot \mathbf{v})-b(\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}+\mathbf{v}\cdot \mathbf{u})=\frac{3}{2}(c-b).$ 所以 $b=c$，即 $AB=AC$． 又 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\cos \angle BAC=\frac{1}{2}$，所以 $\angle BAC=\frac{\pi }{3}$． 由余弦定理，$B{C}^2=b^2+c^2-2bc\cos \frac{\pi }{3}=b^2$，从而 $BC=b=c$． 故 $△ABC$ 为等边三角形，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量判定三角形形状

核心方法：单位向量 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 满足 $(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 且 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\frac{1}{2}$，推 $AB=AC$ 且 $\angle A=60^{\circ }$，等边

避坑指南：$\mathbf{u}+\mathbf{v}$ 沿角平分线方向，垂直 $BC$ 推等腰；点积 $\frac{1}{2}$ 推 $60^{\circ }$，两者结合得等边

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 单位向量与三角形形状

结论推广: 角平分线方向向量垂直对边推等腰

方法推广: 单位向量相加得角平分线方向，是判定等腰的关键

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-17 解-解三角形综合
• 2008-安徽文-02 单-向量坐标减法
• 2008-北京文-11 填-向量数量积定义
• 2008-新课标Ⅰ文-09 单-向量共线充要