2003-大纲文-18 解-复数模的等比中项

本题导读

本题考查复数的模与等比中项。核心在于设模为未知数，用模长公式与等比中项列方程。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 已知复数 $z$ 的辐角为 $60^{\circ }$，且 $|z-1|$ 是 $|z|$ 和 $|z-2|$ 的等比中项，求 $|z|$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $|z|=r$，则 $z=r(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })$。
2. $|z-1{|}^2=r^2-r+1$，$|z-2{|}^2=r^2-2r+4$。
3. 等比中项 $|z-1{|}^2=|z|\cdot |z-2|$，平方得 $r^2+2r-1=0$，$r=\sqrt{2}-1$。

✅【答案】

Success

$|z|=\sqrt{2}-1$

✍【详细解析】

Abstract

设 $r=|z|$，因 $z$ 的辐角为 $60^{\circ }$，$r>0$ 且 $z=r(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })$.由复数模的平方公式，$|z-1{|}^2=r^2-2r\cos 60^{\circ }+1=r^2-r+1$，$|z-2{|}^2=r^2-4r\cos 60^{\circ }+4=r^2-2r+4$.由等比中项定义，$|z-1{|}^2=|z||z-2|=r|z-2|$，两边非负，平方后仍等价，得 $(r^2-r+1{)}^2=r^2(r^2-2r+4)$，展开化简得 $r^2+2r-1=0$，解得 $r=-1\pm \sqrt{2}$，舍去负根，故 $|z|=\sqrt{2}-1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数模的等比中项
2. 核心方法：设 $|z|=r$，$z=r(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })$；$|z-1{|}^2=r^2-r+1$，$|z-2{|}^2=r^2-2r+4$；等比中项 $|z-1{|}^2=r|z-2|$，平方得 $r^2+2r-1=0$，$r=\sqrt{2}-1$
3. 避坑指南：$|z-a{|}^2=r^2-2ar\cos \theta +a^2$；等比中项 $|z-1{|}^2=|z||z-2|$ 平方后解，舍 $r<0$ 根

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于复数的模，教材”复数”
2. 结论推广: 一般化：$|z-a{|}^2=r^2-2ar\cos \theta +a^2$（$z$ 辐角 $\theta$）；设模为未知数，用等比中项列方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-17 解-复数模与范围
• 2004-全国卷III文-07 单-复数辐角与平方
• 2007-山东文-01 单-复数除法与实部