2002-新课标文-22 解-向量等差轨迹

本题导读

本题考查向量的数量积与轨迹方程。核心在于把数量积成等差数列的条件坐标化。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 已知两点 $M(-1,0)$，$N(1,0)$，且点 $P$ 使 $\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}$ 成公差小于零的等差数列.

(1) 点 $P$ 的轨迹是什么曲线？

(2) 若点 $P$ 坐标为 $(x_0,y_0)$，记 $\theta$ 为 $\overrightarrow{PM}$ 与 $\overrightarrow{PN}$ 的夹角，求 $\tan \theta$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $P(x,y)$，计算三个数量积。
2. 等差数列关系列方程得轨迹；公差为负定范围。

✅【答案】

Success

(1) 圆 $x^2+y^2=3$ 的右半圆（$x>0$）

(2) $\tan \theta =|y_0|=\sqrt{3-x_0^2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $P(x,y)$，则 $\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MN}=2(x+1)$，$\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}=x^2+y^2-1$，$\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=2(1-x)$．这三数成等差数列，故中间项等于首末两项的平均数，即 $2(x^2+y^2-1)=2(x+1)+2(1-x)=4$，得 $x^2+y^2=3$．公差为 $(x^2+y^2-1)-2(x+1)=-2x<0$，故 $x>0$． (1) 点 $P$ 的轨迹是圆 $x^2+y^2=3$ 的右半圆（$x>0$）． (2) 在轨迹上 $\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}=2$，$|\overrightarrow{PM}{|}^2=4+2x$，$|\overrightarrow{PN}{|}^2=4-2x$，$\theta$ 为锐角，$\tan \theta =\frac{|(-x-1)(-y)-(-y)(1-x)|}{\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}}=\frac{2|y|}{2}=|y|$，故 $\tan \theta =|y_0|=\sqrt{3-x_0^2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量等差轨迹

核心方法：$\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MN}=2(x+1)$，$\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}=x^2+y^2-1$，$\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=2(1-x)$，等差且公差为负得 $x^2+y^2=3$ 且 $x>0$，$\tan \theta =|y_0|=\sqrt{3-x_0^2}$

避坑指南：三点数量积成等差数列列方程，公差为负定半圆

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材向量的数量积

结论推广：一般地，数量积成等差数列列轨迹方程

方法推广：数量积坐标化列方程，公差为负定范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2003-河南卷-21 解-向量定向动点轨迹
• 2003-大纲文-22 解-矩形动点轨迹与椭圆
• 2003-天津文-22 解-动点轨迹与焦点