2005-上海卷理-03 填-平面向量的数量积坐标运算

本题导读

本题核心考查平面向量数量积的坐标运算以及动点轨迹方程的求法，属于基础概念的直接代数应用题。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 直角坐标平面 $xOy$ 中，若定点 $A(1,2)$ 与动点 $P(x,y)$ 满足 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=4$，则点 $P$ 的轨迹方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据点 $A$ 和点 $P$ 的坐标，分别写出向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OP}$ 的坐标表示。
2. 利用平面向量数量积的坐标计算公式将 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=4$ 转化为关于 $x,y$ 的代数方程，即为所求的轨迹方程。

✅【答案】

Success

$x+2y=4$

✍【详细解析】

Abstract

由题意可知， $O(0,0)$ 为坐标原点，定点 $A(1,2)$，动点 $P(x,y)$。 则向量的坐标表示为： $\overrightarrow{OA}=(1,2)$， $\overrightarrow{OP}=(x,y)$。 根据平面向量数量积的坐标运算公式，有： $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=x\times 1+y\times 2=x+2y$ 因为 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=4$， 所以 $x+2y=4$。

答案为：$x+2y=4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标表示、向量数量积的坐标运算公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。
2. 核心方法：直接坐标代换法。
3. 避坑指南：注意轨迹方程需要写成包含 $x,y$ 的完整等式形式（如 $x+2y=4$），不要只写出代数式 $x+2y$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第一册“平面向量的数量积”中关于坐标运算的基础练习题改编。 2.结论推广: 在平面直角坐标系中，满足 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=k$（$A$ 为定点，$k$ 为常数）的动点 $P$ 的轨迹恒为一条与 $\overrightarrow{OA}$ 垂直的直线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-04 填-向量数量积与轨迹
• 2002-新课标文-22 解-向量等差轨迹