2002-新课标文-10 单-对数不等式范围

本题导读

本题考查对数函数的性质，以及不等式的放缩。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 已知 $0<x<y<a<1$，则有()

A. ${\log }_a(xy)<0$　　　B. $0<{\log }_a(xy)<1$　　　C. $1<{\log }_a(xy)<2$　　　D. ${\log }_a(xy)>2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $0<x<y<a$ 得 $0<xy<a^2<1$。
2. 底数 $0<a<1$，${\log }_a$ 递减，${\log }_a(xy)>{\log }_a(a^2)=2$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $0<x<y<a<1$ 得 $0<xy<a^2<1$．因为底数 $a\in (0,1)$，${\log }_{a}t$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，故 ${\log }_a(xy)>{\log }_a(a^2)=2$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数不等式范围

核心方法：由 $0<xy<a^2<1$ 及 $0<a<1$ 得 ${\log }_a(xy)>{\log }_a{a}^2=2$

避坑指南：底数 $0<a<1$ 时对数单调递减，注意放缩 $xy<a^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数函数的性质

结论推广：一般地，底数 $0<a<1$ 时对数函数单调递减

方法推广：利用单调性与放缩比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-天津文-09 单-对数型反函数
• 2003-河南卷-07 单-对数型反函数
• 2004-北京卷文-10 填-对数方程求解