2002-北京卷理-21 解-三角形的五心坐标公式

本题导读

本题考查解析几何中三角形中心坐标的求解以及动点轨迹方程。第一问要求推导重心、外心、垂心的坐标并证明三点共线（即欧拉线定理）；第二问利用直线平行的斜率关系或纵坐标相等关系求解顶点 $C$ 的轨迹，并注意排除退化为共线点的情况。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 已知 $O(0,0)$, $B(1,0)$, $C(b,c)$ 是 $△OBC$ 的三个顶点.

(1) 写出 $△OBC$ 的重心 $G$, 外心 $F$, 垂心 $H$ 的坐标，并证明 $G,F,H$ 三点共线；

(2) 当直线 $FH$ 与 $OB$ 平行时，求顶点 $C$ 的轨迹.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：

• 重心 $G$：利用重心坐标公式 $X_G=\frac{x_1+x_2+x_3}{3},Y_G=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$ 直接求解。
• 外心 $F$：设 $F(x,y)$，利用到三顶点距离相等 $|FO|=|FB|=|FC|$ 建立方程组求解。由于 $O,B$ 在 $x$ 轴上，外心横坐标必然为 $\frac{1}{2}$。
• 垂心 $H$：利用高线垂直关系 $\overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 和 $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{OC}=0$ 建立方程组求解。
• 共线证明：计算向量 $\overrightarrow{FG}$ 与 $\overrightarrow{FH}$ 的坐标，验证是否存在实数 $\lambda$ 使得 $\overrightarrow{FH}=\lambda \overrightarrow{FG}$。

2. 第(2)问：

• 直线 $OB$ 在 $x$ 轴上，其斜率为 $0$。若 $FH\parallel OB$，则 $F$ 与 $H$ 的纵坐标必须相等。
• 令 $y_F=y_H$，导出关于 $b,c$ 的代数方程。
• 将 $b,c$ 替换为直角坐标变元 $x,y$，并根据 $△OBC$ 必须能构成三角形的几何前提，挖去使三点共线的非法点。

✅【答案】

Success

(1) $G\left(\frac{b+1}{3},\frac{c}{3}\right)$，$F\left(\frac{1}{2},\frac{b^2+c^2-b}{2c}\right)$，$H\left(b,\frac{b(1-b)}{c}\right)$；证明见解析

(2) 顶点 $C$ 的轨迹为椭圆 ${\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{c^2}{3}=\frac{1}{4}$（去掉 $O,B$ 及正三角形顶点）

✍【详细解析】

Abstract

📐 (1) 求解坐标并证明三点共线

1. 求重心 $G$ 的坐标 由三角形重心坐标公式，得： $G\left(\frac{0+1+b}{3},\frac{0+0+c}{3}\right)⟹G\left(\frac{b+1}{3},\frac{c}{3}\right)$

2. 求外心 $F$ 的坐标 设 $F(x_F,y_F)$。因为 $F$ 为外心，则 $|FO{|}^2=|FB{|}^2=|FC{|}^2$。 由 $|FO{|}^2=|FB{|}^2$ 得： $x_F^2+y_F^2=(x_F-1{)}^2+y_F^2⟹2x_F=1⟹x_F=\frac{1}{2}$ 由 $|FO{|}^2=|FC{|}^2$ 且 $x_F=\frac{1}{2}$ 得： ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+y_F^2={\left(\frac{1}{2}-b\right)}^2+(y_F-c{)}^2$ $\frac{1}{4}+y_F^2=\frac{1}{4}-b+b^2+y_F^2-2c{y}_F+c^2$ $2c{y}_F=b^2-b+c^2⟹y_F=\frac{b^2-b+c^2}{2c}(c\ne 0)$ 故外心坐标为： $F\left(\frac{1}{2},\frac{b^2-b+c^2}{2c}\right)$

3. 求垂心 $H$ 的坐标 设 $H(x_H,y_H)$。因为 $CH\perp OB$，且 $OB$ 在 $x$ 轴上，所以垂心的横坐标与顶点 $C$ 相同： $x_H=b$ 因为 $OH\perp BC$，且 $\overrightarrow{OH}=(b,y_H)$，$\overrightarrow{BC}=(b-1,c)$，由向量内积为 0 得： $\overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{BC}=0⟹b(b-1)+y_H\cdot c=0⟹y_H=\frac{b(1-b)}{c}$ 故垂心坐标为： $H\left(b,\frac{b-b^2}{c}\right)$

4. 证明 $G,F,H$ 三点共线 计算向量 $\overrightarrow{HG}$ 与 $\overrightarrow{HF}$ 的坐标： $\overrightarrow{HG}=\left(\frac{b+1}{3}-b,\frac{c}{3}-\frac{b-b^2}{c}\right)=\left(\frac{1-2b}{3},\frac{c^2-3b+3b^2}{3c}\right)$ $\overrightarrow{HF}=\left(\frac{1}{2}-b,\frac{b^2-b+c^2}{2c}-\frac{b-b^2}{c}\right)=\left(\frac{1-2b}{2},\frac{3b^2-3b+c^2}{2c}\right)$ 观察可得： $\overrightarrow{HF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{HG}$ 由于存在非零实数满足向量线性等对关系，故 $G,F,H$ 三点共线。

📐 (2) 求顶点 $C$ 的轨迹

因为直线 $OB$ 在 $x$ 轴上，斜率为 $0$。 若直线 $FH\parallel OB$，则 $F$ 与 $H$ 的纵坐标必须相等，且两点不能重合（即横坐标 $x_F\ne x_H⟹b\ne \frac{1}{2}$）。 令 $y_F=y_H$： $\frac{b^2-b+c^2}{2c}=\frac{b-b^2}{c}$ 由于 $c\ne 0$，两边同乘以 $2c$ 得： $b^2-b+c^2=2(b-b^2)$ $b^2-b+c^2=2b-2b^2$ 移项整理得： $3b^2-3b+c^2=0$ ${\left(b-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{c^2}{3}=\frac{1}{4}$

将顶点 $C(b,c)$ 的代数变元用标准坐标 $(x,y)$ 替换，其满足的轨迹方程为： ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{y^2}{3}=\frac{1}{4}$

几何约束限制条件排除：

1. $O,B,C$ 必须能构成三角形，故 $C$ 不能在 $x$ 轴上 $⟹y\ne 0$。当 $y=0$ 时，算得 $x=0$ 或 $x=1$，此时 $C$ 与 $O$ 或 $B$ 重合，无法构成三角形。
2. 当 $x=\frac{1}{2}$ 时，代入方程算得 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。此时 $b=\frac{1}{2}$，导致 $x_F=x_H=\frac{1}{2}$，外心与垂心重合，直线 $FH$ 退化为一个点，无法构成与 $OB$ 平行的“直线”，故必须挖去。

综上所述，顶点 $C$ 的轨迹是以 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 为中心，长轴在 $y$ 轴方向，短轴在 $x$ 轴方向的椭圆，且需要除去四个顶点。 轨迹方程为： ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{y^2}{3}=\frac{1}{4}\left(x\ne 0,1,\frac{1}{2}\right)$

答案： (1) 坐标见解析，通过 $\overrightarrow{HF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{HG}$ 证得三点共线。 (2) 顶点 $C$ 的轨迹方程为 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{y^2}{3}=\frac{1}{4}$，其中 $x\ne 0,1,\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形多中心坐标表达式；向量共线充要条件；斜率平行关系下的轨迹方程建立。
2. 核心方法：坐标代数化简法、图形退化边界排除法。
3. 避坑指南：

• 轨迹边界值漏挖：第二问极易漏掉三角形构成的基本前提 $y\ne 0$ 以及直线未退化的前提 $b\ne \frac{1}{2}$。解析几何求轨迹必须坚持“完备性”与“纯粹性”原则，任何导致图形退化的点必须严格利用定义域排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题第(1)问结论即为平面几何中著名的欧拉线定理（Euler’s line）。任一三角形的重心、外心、垂心、九点圆圆心均恒共线，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
2. 结论推广：利用解析几何证明经典几何定理时，将其中一个边放置在坐标轴上（如本题将 $OB$ 放在 $x$ 轴且定长度为 1），可以极大精简多变量代数式的展开复杂度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.11 三角形的四心的核心结论全梳理

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-09 单-向量共线定轨迹
• 2006-湖南文-02 单-向量平行与垂直定参
• 2006-陕西文-21 解-向量参数轨迹方程