2005-湖南卷文-09 单-向量数量积定三角形的心

本题导读

本题考查用数量积等式判定三角形的”心”。三个数量积两两相等，任意两式相减就冒出一句”某条边垂直于某条线”，三条都成立即为三条高的交点。判四心的通法只有一句：移项、提取公因子，让它变回垂直。 选项里四个心都在，说明命题人考的不是计算，而是这条翻译链。

📌【题干】

Question

（2005年湖南卷(文)） $P$ 是 $△ABC$ 所在平面上一点，若 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}$，则 $P$ 是 $△ABC$ 的()

A. 外心　　　　　B. 内心　　　　　C. 重心　　　　　D. 垂心

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}$ 得 $(\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC})\cdot \overrightarrow{PB}=0$，即 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$。
2. 同理 $PB\perp CA$、$PC\perp AB$、$PA\perp BC$。
3. 三条高线共点，$P$ 为垂心。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}$，移项得 $(\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC})\cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$，故 $PB\perp CA$．同理可证 $PC\perp AB$，$PA\perp BC$．$P$ 是三角形三条高线的交点，即垂心，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积定三角形的心

核心方法：$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}$ 移项因式分解 $(\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC})\cdot \overrightarrow{PB}=0$ 即 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$

避坑指南：三个等式连用：每条边所在向量与对顶向量垂直——垂心定义，别选外心（外心是到顶点等距）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 向量与三角形的心

结论推广：$(\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC})\cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{PB}=0\Rightarrow PB\perp CA$，同理三线共点——垂心

方法推广：$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}$ 类等式一律移项因式分解，暴露”边垂直对顶向量”结构

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I文-11 单-向量数量积定垂心
• 2002-北京卷理-21 解-三角形的五心坐标公式
• 2010-湖北卷理-05 单-三角