2005-全国卷I文-11 单-向量数量积定垂心

本题导读

本题考查用数量积等式判定三角形的”心”。三个数量积两两相等，减一次就得到一条”边垂直于对顶向量”，三条同时成立即为三条高的交点。四个选项故意写成几何语言（角平分线交点、垂直平分线交点、中线交点、高的交点），考的正是能不能把向量条件与几何定义双向翻译。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 点 $O$ 是 $△ABC$ 所在平面内的一点，满足 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}$，则点 $O$ 是 $△ABC$ 的()

A. 三个内角的角平分线的交点　　　B. 三条边的垂直平分线的交点

C. 三条中线的交点　　　　　　　　D. 三条高的交点

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}$，移项得 $\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=0$。
2. $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$，故 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{CB}$，$O$ 在 $BC$ 边的高线上。
3. 同理 $O$ 在另两条高线上，故 $O$ 是三条高的交点（垂心）。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}$，移项得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}=0$， 即 $\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=0$． 而 $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$，故 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{CB}$，即 $OA\perp BC$，$O$ 在 $BC$ 边上的高所在直线上． 同理，由 $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$ 得 $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，$OB\perp AC$； 由 $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OB}$ 得 $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$，$OC\perp AB$． 故 $O$ 是三角形三条高的交点，即垂心． 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积定垂心

核心方法：由 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}$ 得 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{BC}$，同理得另两条高，故 $O$ 为垂心

避坑指南：数量积相等要移项提取公因子（如 $\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=0$）才看出垂直；三条结论分别对应三条高

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于平面向量数量积与三角形四心，教材”平面向量的应用”

结论推广：一般化：$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}$ 刻画垂心；类似地，到三边距离相等是内心、到三角顶点等距是外心

方法推广：数量积等式移项提取公因向量，转化为”向量垂直”后对应三角形的高

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 11.11 三角形的四心的核心结论全梳理

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅰ文-11 单-切线数量积最值
• 2009-大纲Ⅰ文-08 单-向量夹角
• 2008-大纲Ⅰ文-05 单-向量定比分点
• 2009-新课标Ⅰ文-07 单-向量垂直定参