2006-陕西文-21 解-向量参数轨迹方程

本题导读

本题考查向量与参数法求轨迹。核心在于向量运算与参数法求轨迹。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 如图，三定点 $A(2,1)$、$B(0,-1)$、$C(-2,1)$，三动点 $D,E,M$ 满足 $\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BE}=t\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DM}=t\overrightarrow{DE}$，$t\in [0,1]$．求：

(1) 动直线 $DE$ 斜率的变化范围；

(2) 动点 $M$ 的轨迹方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{AB}=(-2,-2)$，$\overrightarrow{BC}=(-2,2)$，故 $D=(2-2t,1-2t)$，$E=(-2t,2t-1)$。
2. $\overrightarrow{DE}=(-2,4t-2)$，$k_{DE}=\frac{4t-2}{-2}=1-2t\in [-1,1]$。
3. $\overrightarrow{DM}=t\overrightarrow{DE}$，$M=D+t(E-D)=(2-4t,1-4t+4t^2)$。
4. 记 $M=(x,y)$，$x=2-4t$，$t=\frac{2-x}{4}$，代入 $y$ 得 $y=\frac{x^2}{4}$。

✅【答案】

Success

(1) $k_{DE}\in [-1,1]$

(2) $x^2=4y$（$-2⩽x⩽2$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $\overrightarrow{AB}=(-2,-2)$、$\overrightarrow{BC}=(-2,2)$，得 $D=(2-2t,1-2t)$、$E=(-2t,2t-1)$，所以 $\overrightarrow{DE}=(-2,4t-2).$ 动直线 $DE$ 的斜率为 $k_{DE}=\frac{4t-2}{-2}=1-2t$．当 $t\in [0,1]$ 时，$k_{DE}\in [-1,1]$．

（2）由 $\overrightarrow{DM}=t\overrightarrow{DE}$，得 $M=D+t(E-D)$，即 $M=(2-4t,1-4t+4t^2).$ 记 $M=(x,y)$，则 $x=2-4t$，从而 $t=\frac{2-x}{4}$，且 $t\in [0,1]$ 等价于 $-2⩽x⩽2$． 代入 $y$ 得 $y=\frac{x^2}{4}$，所以轨迹方程为 $x^2=4y$，其中 $-2⩽x⩽2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量参数轨迹方程

核心方法：(1) $\overrightarrow{DE}=(-2,4t-2)$，$k_{DE}=1-2t\in [-1,1]$；(2) $M=(2-4t,1-4t+4t^2)$，消 $t$ 得 $x^2=4y$（$-2⩽x⩽2$）

避坑指南：由 $x=2-4t$ 反解 $t=\frac{2-x}{4}$，代入 $y$ 消参；注意 $t\in [0,1]$ 限定 $x$ 范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 参数方程与轨迹

结论推广: 消参数得普通方程

方法推广: 用向量关系表示动点坐标，消 $t$ 得轨迹

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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• 2011-重庆卷文-21 解-椭圆轨迹与定点定值
• 2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线
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