2002-上海卷文-12 填-反函数充要条件

本题导读

本题考查反函数的图象，以及原函数与反函数的关系。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 已知函数 $y=f(x)$（定义域为 $D$，值域为 $A$）有反函数 $y=f^{-1}(x)$，则方程 $f(x)=0$ 有解 $x=a$，且 $f(x)>x$（$x\in D$）的充要条件是 $y=f^{-1}(x)$ 满足$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(a)=0$ 对应反函数图象过 $(0,a)$。
2. $f(x)>x$ 对应反函数图象在 $y=x$ 下方。

✅【答案】

Success

其图象在直线 $y=x$ 的下方，且与 $y$ 轴的交点为 $(0,a)$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=0$ 有解 $x=a$ 即 $f(a)=0$，等价于反函数 $f^{-1}(0)=a$，即反函数图象过点 $(0,a)$（与 $y$ 轴交于 $(0,a)$）．$f(x)>x$ 表示原函数图象在 $y=x$ 上方，因互为反函数图象关于 $y=x$ 对称，等价于反函数图象在 $y=x$ 下方．故充要条件为：$y=f^{-1}(x)$ 的图象在直线 $y=x$ 的下方，且与 $y$ 轴的交点为 $(0,a)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数充要条件

核心方法：$f(x)=0$ 有解 $x=a$ 且 $f(x)>x$ 等价于反函数图象在 $y=x$ 下方且过 $(0,a)$

避坑指南：互为反函数图象关于 $y=x$ 对称，$f(x)>x$ 对应反函数在 $y=x$ 下方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反函数

结论推广：一般地，互为反函数图象关于 $y=x$ 对称

方法推广：把原函数条件翻译为反函数图象条件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-14 填-反函数图象交点
• 2003-上海文-15 单-指数函数与反函数交点