2001-新课标理-18 解-系统独立事件概率

本题导读

本题考查相互独立事件的概率。核心在于区分串联（全乘）与并联（先算全失效）两种系统结构。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 如图，用 $A$，$B$，$C$ 三类不同的元件连接成两个系统 $N_1$，$N_2$.

(1) 当元件 $A$，$B$，$C$ 都正常工作时，系统 $N_1$ 正常工作；

(2) 当元件 $A$ 正常工作且元件 $B$，$C$ 至少有一个正常工作时，系统 $N_2$ 正常工作. 已知元件 $A$，$B$，$C$ 正常工作的概率依次为 $0.80$，$0.90$，$0.90$.分别求系统 $N_1$，$N_2$ 正常工作的概率 $P_1$，$P_2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $N_1$ 为三元件串联，$P_1=P(A)P(B)P(C)$。
2. $N_2$ 中 $B$、$C$ 并联，先算 $B$、$C$ 全失效的概率。

✅【答案】

Success

$P_1=0.648$，$P_2=0.792$

✍【详细解析】

Abstract

分别记元件 $A$，$B$，$C$ 正常工作为事件 $A$，$B$，$C$，由已知 $P(A)=0.80$，$P(B)=0.90$，$P(C)=0.90$，且 $A$，$B$，$C$ 相互独立． (1) 系统 $N_1$ 正常工作的概率 $P_1=P(A\cdot B\cdot C)=P(A)P(B)P(C)=0.80\times 0.90\times 0.90=0.648$． (2) $B$、$C$ 至少有一个正常工作的对立事件是 $B$、$C$ 都失效，$P(\bar{B})=1-0.90=0.10$，$P(\bar{C})=1-0.90=0.10$，故 $P_2=P(A)\left[1-P(\bar{B})P(\bar{C})\right]=0.80\times (1-0.10\times 0.10)=0.80\times 0.99=0.792$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：系统独立事件概率

核心方法：$P_1=P(A)P(B)P(C)=0.648$；$P_2=P(A)[1-P(\bar{B})P(\bar{C})]=0.80\times 0.99=0.792$

避坑指南：串联全乘，并联先算全失效

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材相互独立事件

结论推广：一般地，串联全乘，并联用 $1-$ 全失效

方法推广：串并联概率结构

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-19 解-独立事件概率
• 2003-天津文-20 解-独立事件概率
• 2004-全国卷IV文-20 解-独立事件概率