2001-新课标理-17 解-含参分式不等式

本题导读

本题考查分式不等式的解法。核心在于化为乘积同解后按参数 $a$ 与 $a^2$ 的大小分类讨论。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 解关于 $x$ 的不等式 $\frac{x-a}{x-a^2}<0$（$a\in \mathbf{R}$）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化为 $(x-a)(x-a^2)<0$。
2. 按 $a$ 与 $a^2$ 的大小分三类讨论。

✅【答案】

Success

$a<0$ 或 $a>1$ 时解集 $(a,a^2)$；$0<a<1$ 时解集 $(a^2,a)$；$a=0$ 或 $1$ 时无解

✍【详细解析】

Abstract

原不等式等价于 $(x-a)(x-a^2)<0$（此时自然 $x\ne a^2$），其解介于两根 $a$ 与 $a^2$ 之间． 当 $a<0$ 或 $a>1$ 时，$a<a^2$，解集为 $\{x\mid a<x<a^2\}$；当 $0<a<1$ 时，$a^2<a$，解集为 $\{x\mid a^2<x<a\}$；当 $a=0$ 或 $a=1$ 时，$a=a^2$，$(x-a)(x-a^2)\ge 0$ 恒成立，原不等式无解． 综上，当 $a<0$ 或 $a>1$ 时，解集为 $(a,a^2)$；当 $0<a<1$ 时，解集为 $(a^2,a)$；当 $a=0$ 或 $a=1$ 时，解集为 $\varnothing$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参分式不等式

核心方法：等价于 $(x-a)(x-a^2)<0$：$a<0$ 或 $a>1$ 时解集 $(a,a^2)$；$0<a<1$ 时解集 $(a^2,a)$；$a=0$ 或 $1$ 时无解

避坑指南：化为乘积同解，按两根 $a$ 与 $a^2$ 大小分类

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材分式不等式

结论推广：一般地，$\frac{x-a}{x-b}<0$ 等价于 $(x-a)(x-b)<0$，含参按根的大小分类

方法推广：化积同解按根分类

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-天津文-02 单-分式不等式解法
• 2004-重庆文-04 单-分式不等式解集
• 2005-福建卷文-02 单-分式不等式的解法