2005-福建卷文-02 单-分式不等式的解法

本题导读

本题考查分式不等式的解法，以及零点分段取符号的思路。

📌【题干】

Question

（2005年福建卷(文)） 不等式 $\frac{2x-1}{3x+1}>0$ 的解集是()

A. $\{x\mid x<-\frac{1}{3}$ 或 $x>\frac{1}{2}\}$　　B. $\{x\mid -\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}\}$　　C. $\{x\mid x>\frac{1}{2}\}$　　D. $\{x\mid x>-\frac{1}{3}\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子分母同号时商为正。
2. 零点 $-\frac{1}{3}$ 与 $\frac{1}{2}$ 把数轴分三段。
3. 逐段取点验符号。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

分式有意义的条件是 $x\ne -\frac{1}{3}$．分子、分母的零点分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $-\frac{1}{3}$，据此将数轴分为三段，分别取 $x=-1$，$x=0$，$x=1$ 检验，分式的符号依次为正、负、正，因此 $\frac{2x-1}{3x+1}>0⟺x<-\frac{1}{3}$ 或 $x>\frac{1}{2}$，选 A． 注：答案册此题 C 选项印作 $x>\frac{3}{2}$，原卷为 $x>\frac{1}{2}$，此处按原卷录入（不影响答案选择）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式的解法

核心方法：零点分段取点验符号

避坑指南：分母零点 $-\frac{1}{3}$ 取不到；若两边同乘 $(3x+1{)}^2$ 化整式，别忘了分母非零条件——不过化为 $f(x)g(x)>0$ 型则自动包含

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 一元二次不等式（分式化整）

结论推广：$\frac{f(x)}{g(x)}>0⟺f(x)g(x)>0$；分子分母同号时商为正，零点分段是通法

方法推广：分式不等式统一化为”商与 $0$ 比较”，保持因式积形式用穿根法或分段取点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅱ文-02 单-分式不等式
• 1994-全国卷理-02 单-椭圆标准方程与焦点位置
• 2009-大纲卷II理-02 单-集合