2004-天津文-02 单-分式不等式解法

本题导读

本题考查分式不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 不等式 $\frac{x-1}{x}⩾2$ 的解集为()

A. $[-1,0)$　　　B. $[-1,+\infty )$　　　C. $(-\infty ,-1]$　　　D. $(-\infty ,-1]\cup (0,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 移项通分 $\frac{x-1}{x}-2⩾0$。
2. 得 $\frac{-x-1}{x}⩾0$，即 $\frac{x+1}{x}⩽0$。
3. 数轴标根得 $[-1,0)$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $x\ne 0$，$\frac{x-1}{x}⩾2$ 等价于 $\frac{x-1}{x}-2=\frac{-x-1}{x}⩾0$，即 $\frac{x+1}{x}⩽0$.临界点为 $-1$ 和 $0$，当 $-1⩽x<0$ 时不等式成立，其余区间不成立，故解集为 $[-1,0)$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式解法
2. 核心方法：$\frac{x-1}{x}⩾2\Rightarrow \frac{x-1}{x}-2=\frac{-x-1}{x}⩾0\Rightarrow \frac{x+1}{x}⩽0$，解集 $[-1,0)$
3. 避坑指南：移项通分得 $\frac{x+1}{x}⩽0$，注意 $x\ne 0$；临界点 $-1,0$，取 $[-1,0)$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于分式不等式的解法，教材”不等式”
2. 结论推广: 一般化：$\frac{f(x)}{g(x)}⩾k$ 移项通分化 $\frac{F(x)}{g(x)}⩾0$；移项通分，注意分母不为零，数轴标根定区间

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-安徽文-02 单-分式不等式解集
• 2008-山东文-07 单-分式不等式解集
• 2012-重庆卷文-02 单-分式不等式的解集