2001-新课标卷文-21 解-三次函数极值与单调

本题导读

本题考查三次函数的极值，以及利用导数求函数的单调区间。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3-3a{x}^2+2bx$ 在点 $x=1$ 处有极小值 $-1$.试确定 $a$，$b$ 的值，并求出 $f(x)$ 的单调区间.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $f(1)=-1$、$f^{\prime }(1)=0$ 列方程组。
2. 解出 $a,b$，对 $f^{\prime }(x)$ 因式分解判单调。

✅【答案】

Success

$a=\frac{1}{3}$，$b=-\frac{1}{2}$；增区间 $\left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)$ 和 $(1,+\infty )$，减区间 $\left(-\frac{1}{3},1\right)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(1)=-1$ 得 $1-3a+2b=-1$，即 $-3a+2b=-2$；由 $f^{\prime }(x)=3x^2-6ax+2b$，$f^{\prime }(1)=0$ 得 $3-6a+2b=0$．联立两式：$\{\begin{array}{l}-3a+2b=-2\\ -6a+2b=-3\end{array}$，相减得 $3a=1$，$a=\frac{1}{3}$，代回得 $b=-\frac{1}{2}$．故 $f(x)=x^3-x^2-x$，$f^{\prime }(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$．令 $f^{\prime }(x)>0$ 得 $x<-\frac{1}{3}$ 或 $x>1$，令 $f^{\prime }(x)<0$ 得 $-\frac{1}{3}<x<1$．故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty ,-\frac{1}{3}\right)$ 和 $(1,+\infty )$ 上递增，在 $\left(-\frac{1}{3},1\right)$ 上递减．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值与单调

核心方法：$f(1)=-1$、$f^{\prime }(1)=0$ 得 $1-3a+2b=-1$、$3-6a+2b=0$，解 $a=\frac{1}{3},b=-\frac{1}{2}$；$f^{\prime }(x)=(3x+1)(x-1)$，增 $(-\infty ,-\frac{1}{3})\cup (1,+\infty )$，减 $(-\frac{1}{3},1)$

避坑指南：极值点满足 $f^{\prime }(x_0)=0$，因式分解判单调

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材导数的应用

结论推广：一般地，极值点满足 $f^{\prime }(x_0)=0$，据此求参数

方法推广：极值条件列方程，因式分解判单调

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-21 解-三次函数区间单调求参
• 2005-全国卷I文-03 单-三次函数极值求参
• 2002-新课标文-21 解-三次函数切线证明