2001-新课标卷文-20甲 解-正四棱锥向量夹角

本题导读

本题考查空间直角坐标系中向量的夹角，以及二面角的平面角。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） （选做题，20甲与20乙二选一）如图，以正四棱锥 $V-ABCD$ 底面中心 $O$ 为坐标原点建立空间直角坐标系 $O-xyz$，其中 $Ox\parallel BC$，$Oy\parallel AB$.$E$ 为 $VC$ 中点，正四棱锥底面边长为 $2a$，高为 $h_0$.

(1) 求 $\cos ⟨\overrightarrow{BE},\overrightarrow{DE}⟩$；

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出 $B,C,D,V,E$ 的坐标。
2. 求 $\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{DE}$ 的数量积与模，得余弦。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{h_0^2-6a^2}{10a^2+h_0^2}$

(2) $-\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）取 $B(a,a,0)$，$C(-a,a,0)$，$D(-a,-a,0)$，$V(0,0,h_0)$，则 $E\left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{h_0}{2}\right)$．于是 $\overrightarrow{BE}=\left(-\frac{3a}{2},-\frac{a}{2},\frac{h_0}{2}\right)$，$\overrightarrow{DE}=\left(\frac{a}{2},\frac{3a}{2},\frac{h_0}{2}\right)$，故 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{DE}=-\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{4}+\frac{h_0^2}{4}=\frac{h_0^2-6a^2}{4}$，$|\overrightarrow{BE}|=|\overrightarrow{DE}|=\frac{\sqrt{10a^2+h_0^2}}{2}$，从而 $\cos ⟨\overrightarrow{BE},\overrightarrow{DE}⟩=\frac{h_0^2-6a^2}{10a^2+h_0^2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥向量夹角

核心方法：建系 $B(a,a,0),C(-a,a,0),D(-a,-a,0),V(0,0,h_0)$，$E(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{h_0}{2})$；$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{DE}=\frac{h_0^2-6a^2}{4}$，$|\overrightarrow{BE}|=|\overrightarrow{DE}|=\frac{\sqrt{10a^2+h_0^2}}{2}$，故 $\cos =\frac{h_0^2-6a^2}{10a^2+h_0^2}$；

避坑指南：建系写坐标求数量积，垂直条件定 $h_0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间向量夹角

结论推广：一般地，$\cos ⟨\vec{u},\vec{v}⟩=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$

方法推广：建系写坐标求数量积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-06 单-正四棱锥侧棱与底面角
• 2003-上海文-05 填-正四棱锥异面角
• 2002-上海卷文-04 填-正四棱锥侧面二面角