2000-大纲文-18 解-等差数列前n项和与Tn

本题导读

本题考查等差数列的通项与前 $n$ 项和。核心在于由 $S_7$、$S_{15}$ 求首项和公差，再求 $T_n$。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 为等差数列，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_7=7$，$S_{15}=75$，$T_n$ 为数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_n$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设首项 $a_1$、公差 $d$，列方程组求 $a_1,d$。
2. 求 $S_n$，再求 $\frac{S_n}{n}$。
3. 求和得 $T_n$。

✅【答案】

Success

$T_n=\frac{1}{4}{n}^2-\frac{9}{4}n$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$、公差为 $d$，则 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$．由 $S_7=7$ 得 $7a_1+21d=7$，即 $a_1+3d=1$；由 $S_{15}=75$ 得 $15a_1+105d=75$，即 $a_1+7d=5$．两式相减得 $4d=4$，$d=1$，代入得 $a_1=-2$．于是 $S_n=-2n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2-5n}{2}$，故 $\frac{S_n}{n}=\frac{n-5}{2}=\frac{n}{2}-\frac{5}{2}$． 于是 $T_n=\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\cdots +\frac{n}{2}\right)-\frac{5}{2}n=\frac{n(n+1)}{4}-\frac{5}{2}n=\frac{n^2+n-10n}{4}=\frac{n^2-9n}{4}$．故 $T_n=\frac{1}{4}{n}^2-\frac{9}{4}n$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列前n项和与Tn

核心方法：设首项 $a_1$ 公差 $d$，$S_7=7a_1+21d=7$，$S_{15}=15a_1+105d=75$，解得 $a_1=-2,d=1$，$S_n=\frac{n^2-5n}{2}$，$\frac{S_n}{n}=\frac{n}{2}-\frac{5}{2}$，故 $T_n=\frac{1}{4}{n}^2-\frac{9}{4}n$

避坑指南：前 $n$ 项和求通项再求 $T_n$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等差数列

结论推广：一般地，$\{S_n/n\}$ 是公差 $\frac{d}{2}$ 的等差数列

方法推广：前 $n$ 项和求通项

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2001-大纲文-17 解-等差数列与裂项极限
• 2003-上海文-03 填-等差数列求和

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