2000-大纲文-03 单-长方体的对角线长

本题导读

本题考查长方体的度量关系，以及由三个面的面积求对角线长。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，这个长方体对角线的长是()

A. $2\sqrt{3}$　　B. $3\sqrt{2}$　　C. $6$　　D. $\sqrt{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设共顶点的三条棱长为 $a,b,c$，则 $ab=\sqrt{2}$，$ac=\sqrt{3}$，$bc=\sqrt{6}$。
2. 求出 $a^2,b^2,c^2$ 再求对角线 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设长方体共顶点的三条棱长为 $a,b,c$，则 $ab=\sqrt{2}$，$ac=\sqrt{3}$，$bc=\sqrt{6}$．三式相乘得 $a^2{b}^2{c}^2=(\sqrt{2})(\sqrt{3})(\sqrt{6})=6$．由 $\frac{(ab)(ac)}{bc}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{6}}=1$ 得 $a^2=1$，同理 $b^2=\frac{(ab)(bc)}{ac}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{3}}=2$，$c^2=\frac{(ac)(bc)}{ab}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3$．故对角线长 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{1+2+3}=\sqrt{6}$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体的对角线长

核心方法：设三边 $a,b,c$，则 $ab=\sqrt{2},ac=\sqrt{3},bc=\sqrt{6}$，相乘得 $(abc{)}^2=6$，$abc=\sqrt{6}$，对角线 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$，由 $a^2=\frac{(ab)(ac)}{bc}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=1$ 同法得 $b^2=3,c^2=2$，故对角线 $\sqrt{6}$

避坑指南：三面面积定三棱长再求对角线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材长方体的度量

结论推广：一般地，长方体对角线长 $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

方法推广：三面面积定三棱长

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2004-北京春文-08 单-长方体对角线最值
• 2007-天津文-13 填-长方体外接球
• 2008-湖南文-09 单-长方体外接球距离

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