2000-上海文-04 填-重要极限

本题导读

本题考查数列的极限，以及重要极限的变形运用。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 计算：$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n}{n+2}\right)}^n=$　　　．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将底数写为 $\frac{1}{1+\frac{2}{n}}$。
2. 原式 $={\left[{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n\right]}^{-1}$。

✅【答案】

Success

$e^{-2}$

✍【详细解析】

Abstract

${\left(\frac{n}{n+2}\right)}^n=\frac{1}{{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n}$．由重要极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{t}{n}\right)}^n=e^t$（取 $t=2$），$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n=e^2$，故原极限为 $\frac{1}{e^2}=e^{-2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：重要极限

核心方法：${\left(\frac{n}{n+2}\right)}^n=\frac{1}{{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n}\to \frac{1}{e^2}=e^{-2}$

避坑指南：重要极限 $\lim (1+\frac{1}{n}{)}^n=e$ 的变形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材两个重要极限

结论推广：一般地，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{t}{n}\right)}^n=e^t$

方法推广：倒数变形套重要极限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2006-上海文-04 填-有理式数列极限
• 2006-上海春-01 填-数列极限同除最高次项

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