1999-上海理-01 填-反三角函数的求值

本题导读

本题考查反三角函数的求值，以及两角差的正切公式。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） $\tan \left(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi }{6}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先求 $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的值。
2. 用两角差正切公式（或差角展开）求值。

✅【答案】

Success

$2-\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$，故原式 $=\tan \left(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}\right)=\tan \frac{\pi }{12}$。由半角公式 $\tan \frac{\pi }{12}=\frac{1-\cos \frac{\pi }{6}}{\sin \frac{\pi }{6}}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=2-\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反三角函数的求值

核心方法：$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$，$\tan (\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6})=\tan \frac{\pi }{12}=\frac{1-\cos \frac{\pi }{6}}{\sin \frac{\pi }{6}}=2-\sqrt{3}$

避坑指南：特殊角反三角 + 差角公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反三角函数

结论推广：一般地，$\tan (\frac{\pi }{4}-\alpha )=\frac{1-\tan \alpha }{1+\tan \alpha }$

方法推广：特殊角反三角 + 差角公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2001-上海文-09 填-反三角函数值域
• 2003-上海文-01 填-三角和角公式求周期
• 2000-上海文-04 填-重要极限