1999-上海文-03 填-二项式展开的指定项系数

本题导读

本题考查二项式展开式中指定项的系数。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(文)） 在 ${\left(x^3+\frac{2}{x^2}\right)}^5$ 的展开式中，含 $x^5$ 项的系数为　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项 $T_{r+1}=C_5^r{x}^{3(5-r)}{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^r$。
2. 令 $x$ 的指数为 $5$ 求 $r$，再算系数。

✅【答案】

Success

$40$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{r+1}=C_5^r{\left(x^3\right)}^{5-r}{\left(\frac{2}{x^2}\right)}^r=C_5^r\cdot 2^r\cdot x^{15-3r-2r}=C_5^r\cdot 2^r\cdot x^{15-5r}$。令 $15-5r=5$，得 $r=2$。故含 $x^5$ 项的系数为 $C_5^2\cdot 2^2=10\times 4=40$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开的指定项系数

核心方法：通项 $C_5^r\cdot 2^r\cdot x^{15-5r}$，令 $15-5r=5$ 得 $r=2$，系数 $C_5^2\cdot 4=40$

避坑指南：通项公式定指数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，$T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$

方法推广：通项公式定指数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-08 单-二项式展开系数的运算
• 2001-上海文-08 填-二项式常数项
• 2003-天津文-13 填-二项式特定项系数