1998-全国卷文-18 填-直四棱柱中的线线垂直

本题导读

本题考查直四棱柱中的线线垂直关系，以及由底面条件推出异面直线垂直。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 在直四棱柱 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1-ABCD$ 中，当底面四边形 $ABCD$ 满足条件　　　时，有 $A_{1}C\perp B_1{D}_1$.（注：写上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用侧棱平移向量表示 $A_{1}C$、$B_1{D}_1$。
2. 由侧棱垂直底面消去竖直分量，化为底面两对角线垂直。

✅【答案】

Success

$AC\perp BD$

✍【详细解析】

Abstract

设 $\overrightarrow{A{A}_1}=\mathbf{u}$，则 $\mathbf{u}\perp$ 底面 $ABCD$。由直四棱柱的平移关系，$\overrightarrow{A_{1}C}=\overrightarrow{AC}-\mathbf{u}$，且 $\overrightarrow{B_1{D}_1}=\overrightarrow{BD}$。因为 $\mathbf{u}\perp \overrightarrow{BD}$，有 $\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{B_1{D}_1}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}$。因此只要底面两条对角线满足 $AC\perp BD$，就有 $A_{1}C\perp B_1{D}_1$，这就是一种正确条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直四棱柱中的线线垂直

核心方法：直四棱柱中 $A_{1}C=AC-\overrightarrow{A{A}_1}$、$B_1{D}_1=BD$，由 $A{A}_1\perp BD$ 知 $A_{1}C\perp B_1{D}_1⟺AC\perp BD$

避坑指南：平移向量定垂直

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直棱柱与向量

结论推广：一般地，棱柱的侧棱平移后可用向量判定垂直

方法推广：平移向量定垂直

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-22 解-正四棱柱的截面与体积
• 2000-大纲文-19 解-平行六面体的线面垂直
• 2001-上海文-19 解-正方体垂直与二面角