1998-上海理-19 解-直四棱柱的二面角与异面角

本题导读

本题考查直四棱柱中的二面角与异面直线所成的角。核心在于用三垂线定理定二面角、建系求异面直线夹角。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)） 直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的高为 $6$，底面是边长为 $4$、$\angle DAB=60^{\circ }$ 的菱形，$AC$ 与 $BD$ 相交于 $O$，$A_1{C}_1$ 与 $B_1{D}_1$ 相交于 $O_1$，$E$ 是 $O_{1}A$ 的中点.

(1) 求二面角 $O_1-BC-D$ 的大小（用反三角函数表示）.

(2) 分别以射线 $OA$，$OB$，$O{O}_1$ 为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的正半轴建立空间直角坐标系，求点 $B_1$，$D_1$，$E$ 的坐标，并求异面直线 $O{B}_1$ 与 $D_{1}E$ 所成角的大小（用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $O_{1}O\perp$ 底面，过 $O$ 作 $OF\perp BC$，用三垂线定理定二面角平面角。
2. 建系写出 $B_1,D_1,E$ 坐标，用向量夹角求异面直线所成角。

✅【答案】

Success

(1) $\arctan 2\sqrt{3}$；(2) $B_1(0,2,6)$，$D_1(0,-2,6)$，$E(\sqrt{3},0,3)$；$\arccos \frac{7\sqrt{10}}{40}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $D_{1}D\perp$ 底面 $ABCD$，$O_{1}O\parallel D_{1}D$，所以 $O_{1}O\perp$ 底面 $ABCD$。过 $O$ 作 $OF\perp BC$，垂足为 $F$，连接 $O_{1}F$，根据三垂线定理得 $O_{1}F\perp BC$，所以 $\angle O_{1}FO$ 是二面角 $O_1-BC-D$ 的平面角。因为 $OC=OA=4\cos 30^{\circ }=2\sqrt{3}$，$OB=OD=2$，所以 $OF=\frac{OC\cdot OB}{BC}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 2}{4}=\sqrt{3}$。于是 $\tan \angle O_{1}FO=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$，所以二面角 $O_1-BC-D$ 的大小为 $\arctan 2\sqrt{3}$。 (2) 由条件得 $O,B_1,D_1,E$ 的坐标为 $O(0,0,0)$，$B_1(0,2,6)$，$D_1(0,-2,6)$，$E(\sqrt{3},0,3)$。于是 $\overrightarrow{O{B}_1}=(0,2,6)$，$\overrightarrow{D_{1}E}=(\sqrt{3},2,-3)$。记异面直线 $O{B}_1$ 与 $D_{1}E$ 所成的角为 $\alpha$，则 $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{O{B}_1}\cdot \overrightarrow{D_{1}E}|}{|\overrightarrow{O{B}_1}|\cdot |\overrightarrow{D_{1}E}|}=\frac{|0\cdot \sqrt{3}+2\cdot 2+6\cdot (-3)|}{\sqrt{0+4+36}\cdot \sqrt{3+4+9}}=\frac{14}{\sqrt{40}\cdot 4}=\frac{7\sqrt{10}}{40}$。由此可得异面直线 $O{B}_1$ 与 $D_{1}E$ 所成的角为 $\arccos \frac{7\sqrt{10}}{40}$。 （注：本题配图待补。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直四棱柱的二面角与异面角

核心方法：(1) 三垂线定理定 $\angle O_{1}FO$，$OF=\sqrt{3}$，$\tan \angle O_{1}FO=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$，二面角 $\arctan 2\sqrt{3}$；；(2) 建系 $B_1(0,2,6)$、$D_1(0,-2,6)$、$E(\sqrt{3},0,3)$，$\cos \alpha =\frac{7\sqrt{10}}{40}$，异面角 $\arccos \frac{7\sqrt{10}}{40}$

避坑指南：三垂线定理 + 建系向量夹角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二面角与异面直线

结论推广：一般地，三垂线定理定二面角，向量求异面角

方法推广：三垂线定理建系求角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 1999-上海理-20 解-四棱锥中异面直线所成角
• 2000-上海文-18 解-四面体体积与异面直线所成角
• 2004-全国卷II文-20 解-直三棱柱垂直与二面角