1995-上海文-23 解-四棱锥的体积与二面角

本题导读

本题考查四棱锥的体积与二面角。核心在于线面垂直求棱锥的高，以及三垂线定理构造二面角的平面角。

📌【题干】

Question

（1995年上海卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面是一个矩形，$AB=3$，$AD=1$，又 $PA\perp AB$，$PA=4$，$\angle PAD=60^{\circ }$.

(1)求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积；

(2)求二面角 $P-BC-D$ 的大小（用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $AB\perp$ 面 $PAD$ 证面面垂直，作 $PE\perp AD$ 得高。
2. 用三垂线定理构造二面角平面角，求其正切。

✅【答案】

Success

(1) $2\sqrt{3}$

(2) $\arctan \frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)因为 $AB\perp AD$、$AB\perp AP$，所以 $AB\perp$ 平面 $PAD$。又 $AB\subset$ 平面 $ABCD$，所以平面 $ABCD\perp$ 平面 $PAD$。在平面 $PAD$ 中作 $PE\perp AD$（$AD$ 为交线），交 $AD$ 的延长线于点 $E$（因为 $AE=AP\cos 60^{\circ }=2>AD$），则 $PE\perp$ 平面 $ABCD$。在 $\mathrm{Rt}△PAE$ 中，$PE=AP\sin 60^{\circ }=2\sqrt{3}$。故 $V_{P-ABCD}=\frac{1}{3}\times AB\times AD\times PE=\frac{1}{3}\times 3\times 1\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。 (2)在平面 $ABCD$ 中作 $EF\parallel DC$，交 $BC$ 的延长线于点 $F$，则 $EF\perp BF$，连接 $PF$。因为 $PE\perp$ 平面 $ABCD$，$EF\perp BF$，由三垂线定理得 $PF\perp BF$。于是 $\angle PFE$ 是二面角 $P-BC-D$ 的平面角。在 $\mathrm{Rt}△PEF$ 中，$EF=DC=AB=3$，$\tan \angle PFE=\frac{PE}{EF}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。所以二面角 $P-BC-D$ 的大小为 $\arctan \frac{2\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥的体积与二面角

核心方法：(1) $AB\perp$ 面 $PAD$，作 $PE\perp AD$ 于延长线上 $E$，$PE=AP\sin 60^{\circ }=2\sqrt{3}$，$V=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 1\cdot 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$；(2) 作 $EF\parallel DC$ 交 $BC$ 延长线于 $F$，$PF\perp BF$，$\tan \angle PFE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，二面角 $=\arctan \frac{2\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：线面垂直求高 + 三垂线定平面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材四棱锥

结论推广：一般地，线面垂直求高、三垂线定平面角

方法推广：线面垂直求高 + 三垂线定平面角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

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• 1997-上海理-19 解-三棱柱的线面角与面面垂直
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• 1999-上海理-20 解-四棱锥中异面直线所成角