1998-上海理-17 解-二倍角与诱导公式求值

本题导读

本题考查诱导公式与二倍角公式的综合应用。核心在于把角化到锐角区间后代入二倍角公式求值。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)） 设 $\alpha$ 是第二象限角，$\sin \alpha =\frac{3}{5}$，求 $\sin \left(\frac{37}{6}\pi -2\alpha \right)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ 及第二象限求 $\cos \alpha$。
2. 求 $\sin 2\alpha$、$\cos 2\alpha$。
3. 用诱导公式化 $\frac{37}{6}\pi$ 再代入求值。

✅【答案】

Success

$\frac{7+24\sqrt{3}}{50}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha$ 是第二象限角，$\sin \alpha =\frac{3}{5}$，所以 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$。于是 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{24}{25}$，$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}$。又 $\frac{37}{6}\pi =6\pi +\frac{\pi }{6}$，所以 $\sin \left(\frac{37}{6}\pi -2\alpha \right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}-2\alpha \right)=\sin \frac{\pi }{6}\cos 2\alpha -\cos \frac{\pi }{6}\sin 2\alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{25}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{24}{25}\right)=\frac{7+24\sqrt{3}}{50}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角与诱导公式求值

核心方法：$\sin \alpha =\frac{3}{5}$、第二象限 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$；$\sin 2\alpha =-\frac{24}{25}$、$\cos 2\alpha =\frac{7}{25}$；$\sin (\frac{37}{6}\pi -2\alpha )=\sin (\frac{\pi }{6}-2\alpha )=\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{25}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (-\frac{24}{25})=\frac{7+24\sqrt{3}}{50}$

避坑指南：诱导公式化角再代二倍角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材诱导公式与二倍角

结论推广：一般地，$\sin (2k\pi +\theta )=\sin \theta$

方法推广：诱导公式化角再代二倍角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-01 单-诱导公式求特殊角的三角函数值
• 2002-新课标文-18 解-二倍角三角求值
• 2004-全国卷IV文-17 解-和角与二倍角求值