1998-上海理-08 填-分段函数的最值

本题导读

本题考查分段函数的最大值，以及逐段求最值再比较的方法。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(理)） 函数 $y=\{\begin{array}{ll}2x+3,& x⩽0\\ x+3,& 0<x⩽1\\ -x+5,& x>1\end{array}$ 的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分别求各段函数在该段定义域上的最大值。
2. 取三段最大值中的最大者。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

当 $x⩽0$ 时，$y=2x+3$ 递增，最大值为 $x=0$ 处的 $3$；当 $0<x⩽1$ 时，$y=x+3$ 递增，最大值为 $x=1$ 处的 $4$；当 $x>1$ 时，$y=-x+5$ 递减，最大值为 $x\to 1^{+}$ 时的趋近值 $4$（$x=1$ 处第一段取 $4$）。因此函数的最大值为 $4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的最值

核心方法：分段函数各段最大值分别为 $3$、$4$、$4$，故最大值为 $4$

避坑指南：逐段求最值再取最大

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材分段函数

结论推广：一般地，分段函数最值须逐段比较

方法推广：逐段求最值再取最大

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-20 解-分段函数最值
• 2003-大纲文-06 单-分段函数解不等式
• 2000-大纲文-21 解-分段函数的纯收益最值