1998-上海文-15 单-集合的并集与补集

本题导读

本题考查集合的并集与补集运算，以及由元素满足条件判断集合关系。

📌【题干】

Question

（1998年上海卷(文)） 设全集为 $\mathbf{R}$，$A=\{x\mid x^2-5x-6>0\}$，$B=\{x\mid |x-5|<a\}$（$a$ 是常数），且 $11\in B$，则()

A. $\overline{A}\cup B=\mathbf{R}$　　　　B. $A\cup \overline{B}=\mathbf{R}$　　　　C. $\overline{A}\cup \overline{B}=\mathbf{R}$　　　　D. $A\cup B=\mathbf{R}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解不等式确定集合 $A$。
2. 由 $11\in B$ 定 $a$ 的范围，判断并集。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$x^2-5x-6>0$，即 $(x+1)(x-6)>0$，所以 $A=\{x\mid x<-1\text{ 或 }x>6\}$。由 $11\in B$，即 $|11-5|=6<a$，得 $a>6$，从而 $B=\{x\mid 5-a<x<5+a\}$ 包含区间 $(-1,11)$。于是 $A\cup B$ 覆盖了 $(-\infty ,-1)\cup (-1,+\infty )=\mathbf{R}$（因 $B$ 包含 $[-1,6]$），所以 $A\cup B=\mathbf{R}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合的并集与补集

核心方法：$A=\{x\mid x<-1\text{ 或 }x>6\}$，由 $11\in B$ 得 $a>6$，故 $B\supset \{x\mid -1<x<11\}$，从而 $A\cup B=\mathbf{R}$，选 D

避坑指南：由元素定参数判断并集

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材集合的运算

结论推广：一般地，先解不等式定集合再判断并补

方法推广：由元素定参数判断并集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1999-上海理-17 解-集合包含与分式不等式
• 2000-大纲文-01 单-集合并集的元素个数
• 2002-大纲文-06 单-集合子集关系