1999-上海理-17 解-集合包含与分式不等式

本题导读

本题考查集合的包含关系与不等式的解法。核心在于解出两个集合再列端点不等式。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 设集合 $A=\{x\mid |x-a|<2\}$，$B=\left\{x\mid \frac{2x-1}{x+2}<1\right\}$.若 $A\subseteq B$，求实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解绝对值不等式得 $A=(a-2,a+2)$。
2. 解分式不等式得 $B=(-2,3)$。
3. 由 $A\subseteq B$ 列端点不等式。

✅【答案】

Success

$0⩽a⩽1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $|x-a|<2$，得 $a-2<x<a+2$，所以 $A=\{x\mid a-2<x<a+2\}$。由 $\frac{2x-1}{x+2}<1$，得 $\frac{2x-1-(x+2)}{x+2}<0$，即 $\frac{x-3}{x+2}<0$，也就是 $-2<x<3$，所以 $B=\{x\mid -2<x<3\}$。因为 $A\subseteq B$，所以 $a-2⩾-2$ 且 $a+2⩽3$，解得 $0⩽a⩽1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合包含与分式不等式

核心方法：$A=(a-2,a+2)$，$B=(-2,3)$，$A\subseteq B$ 需 $a-2\ge -2$ 且 $a+2\le 3$，得 $0\le a\le 1$

避坑指南：包含关系列端点不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材集合与不等式

结论推广：一般地，$A\subseteq B$ 列端点不等式（注意等号）

方法推广：端点不等式定参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2001-新课标理-17 解-含参分式不等式
• 2004-天津文-02 单-分式不等式解法
• 2004-湖北文-16 填-集合包含关系