1997-全国卷文-18 填-三角函数的恒等求值

本题导读

本题考查三角函数的恒等求值，以及用和差角公式拼凑化简。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） $\frac{\sin 7^{\circ }+\cos 15^{\circ }\sin 8^{\circ }}{\cos 7^{\circ }-\sin 15^{\circ }\sin 8^{\circ }}$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子用 $\sin (15^{\circ }-8^{\circ })$ 展开拼凑。
2. 分母用 $\cos (15^{\circ }-8^{\circ })$ 展开拼凑，化简为 $\tan 15^{\circ }$。

✅【答案】

Success

$2-\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

分子：$\sin 7^{\circ }+\cos 15^{\circ }\sin 8^{\circ }=\sin (15^{\circ }-8^{\circ })+\cos 15^{\circ }\sin 8^{\circ }=(\sin 15^{\circ }\cos 8^{\circ }-\cos 15^{\circ }\sin 8^{\circ })+\cos 15^{\circ }\sin 8^{\circ }=\sin 15^{\circ }\cos 8^{\circ }$。分母：$\cos 7^{\circ }-\sin 15^{\circ }\sin 8^{\circ }=\cos (15^{\circ }-8^{\circ })-\sin 15^{\circ }\sin 8^{\circ }=(\cos 15^{\circ }\cos 8^{\circ }+\sin 15^{\circ }\sin 8^{\circ })-\sin 15^{\circ }\sin 8^{\circ }=\cos 15^{\circ }\cos 8^{\circ }$。故原式 $=\frac{\sin 15^{\circ }\cos 8^{\circ }}{\cos 15^{\circ }\cos 8^{\circ }}=\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的恒等求值

核心方法：分子 $\sin 7^{\circ }+\cos 15^{\circ }\sin 8^{\circ }=\sin (15^{\circ }-8^{\circ })+\cos 15^{\circ }\sin 8^{\circ }=\sin 15^{\circ }\cos 8^{\circ }$；分母 $\cos 7^{\circ }-\sin 15^{\circ }\sin 8^{\circ }=\cos 15^{\circ }\cos 8^{\circ }$；商 $=\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$

避坑指南：和差角公式拼凑

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材两角和差公式

结论推广：一般地，凑和差角公式化简

方法推广：和差角公式拼凑

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-01 填-正切和角求值
• 2003-大纲文-02 单-二倍角正切求值
• 2002-新课标文-14 填-二倍角求余切