1997-全国卷文-06 单-正切与余切不等式的区间

本题导读

本题考查正切与余切的不等式，以及由同号化正切后求区间。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(文)） 满足 $\tan \alpha \ge \cot \alpha$ 的 $\alpha$ 的一个取值区间是()

A. $\left(0,\frac{\pi }{4}\right]$　　　　B. $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$　　　　　C. $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$　　　　　D. $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在 $\tan \alpha >0$ 时把不等式化为 ${\tan }^2\alpha \ge 1$。
2. 求满足 $\tan \alpha \ge 1$ 的区间。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

当 $\tan \alpha >0$ 时，$\tan \alpha \ge \cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }$ 两边同乘正数 $\tan \alpha$，得 ${\tan }^2\alpha \ge 1$，即 $\tan \alpha \ge 1$（因 $\tan \alpha >0$）。在第一象限，$\tan \alpha \ge 1$ 给出 $\alpha \in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切与余切不等式的区间

核心方法：$\tan \alpha \ge \cot \alpha ⟺{\tan }^2\alpha \ge 1$（$\tan \alpha >0$）即 $\tan \alpha \ge 1$，$\alpha \in [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$，选 C

避坑指南：同号化正切平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材正切函数的单调性

结论推广：一般地，同号化正切后比较

方法推广：同号化正切平方

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.07 常见三角不等式

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-05 单-三角不等式区间
• 2002-新课标文-05 单-三角不等式区间
• 2005-全国卷II文-04 单-正切函数单调性定参