1997-上海理-09 填-复数的乘方运算

本题导读

本题考查复数的四则运算与乘方，以及复数除法的共轭化。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(理)） 已知 $a=\frac{-3-i}{1+2i}$（$i$ 是虚数单位），那么 a^4=$$\underline{\quad\quad\quad}.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先化简 $a$。
2. 求 $a^2$，再求 $a^4$。

✅【答案】

Success

$-4$

✍【详细解析】

Abstract

$a=\frac{-3-i}{1+2i}=\frac{(-3-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{-3+6i-i+2i^2}{1+4}=\frac{-5+5i}{5}=-1+i$。则 $a^2=(-1+i{)}^2=1-2i+i^2=-2i$，$a^4=(-2i{)}^2=4i^2=-4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的乘方运算

核心方法：$a=\frac{-3-i}{1+2i}=\frac{(-3-i)(1-2i)}{5}=\frac{-3+6i-i-2i^2}{5}=\frac{-1+5i}{5}=-\frac{1}{5}+i$，$|a{|}^2=\frac{1}{25}+1=\frac{26}{25}$？验算 $a=-\frac{1}{5}+i$，$a^2=-\frac{24}{25}-\frac{2}{5}i$，$a^4=(a^2{)}^2=-4$

避坑指南：复数除法再平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数运算

结论推广：一般地，复数除法分子分母同乘共轭

方法推广：复数除法再平方

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-18 解-复数旋转与辐角主值
• 1998-全国卷文-08 单-复数的立方根
• 1999-上海理-19 解-复数辐角主值的范围