1997-上海文-16A 填-计数原理（过原点直线）

本题导读

本题考查计数原理，以及过原点直线的条件。

📌【题干】

Question

（1997年上海卷(文)） （选做题，A 组与 B 组二选一）从集合 $\{0,1,2,3,5,7,11\}$ 中任取 $3$ 个元素分别作为直线方程 $Ax+By+C=0$ 中的 $A,B,C$，所得恰好经过坐标原点的直线有$\underline{}$ 条（结果用数值表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线过原点等价于 $C=0$。
2. 用排列求 $A,B$ 的取法数。

✅【答案】

Success

$30$

✍【详细解析】

Abstract

直线过原点即 $C=0$，故 $C$ 只能取 $0$。$A,B$ 需从 $\{1,2,3,5,7,11\}$ 这 $6$ 个非零数中取两个不同的数，有 $A_6^2=6\times 5=30$ 种取法，故所得过原点的直线有 $30$ 条。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：计数原理（过原点直线）

核心方法：过原点即 $C=0$，$C$ 只能取 0；$A,B$ 从 $\{1,2,3,5,7,11\}$ 取且不同，共 $A_6^2=30$ 条

避坑指南：过原点条件 + 排列

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材计数原理

结论推广：一般地，过原点直线 $Ax+By=0$ 即 $C=0$

方法推广：过原点条件 + 排列

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-10 单-分组分配的计数
• 1999-全国卷文-14 单-不定方程的选购计数
• 1997-全国卷文-15 单-四面体中共面的计数