1995-全国卷文-20 填-排列组合的分堆与恰一空盒计数

本题导读

本题考查排列组合的综合应用。核心在于把”恰有一个空盒”分解为选空盒、选重盒、分配剩余三步。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 四个不同的小球放入编号为 $1$，$2$，$3$，$4$ 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有　　　种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 选出空盒：${\mathrm{C}}_4^1$。
2. 从四球中选两球放入某一个盒（该盒装两球），其余两球分装另两盒。

✅【答案】

Success

$144$

✍【详细解析】

Abstract

恰有一个空盒，则余下三个盒中球数分布为 $2$、$1$、$1$。第一步选空盒：${\mathrm{C}}_4^1=4$ 种；第二步从四个不同小球中选两个放入剩余某盒：先选重盒 ${\mathrm{C}}_3^1$，再选两球 ${\mathrm{C}}_4^2$；第三步其余两球分装两个盒：${\mathrm{A}}_2^2$。总数 $=4\times 3\times 6\times 2=144$ 种。（另法：选空盒 ${\mathrm{C}}_4^1$，再选装两球的盒 ${\mathrm{C}}_3^1$、选球 ${\mathrm{C}}_4^2$、全排列 ${\mathrm{A}}_2^2$，结果一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列组合的分堆与恰一空盒计数

核心方法：分布 $2,1,1$：选空盒 ${\mathrm{C}}_4^1$、选重盒 ${\mathrm{C}}_3^1$、选球 ${\mathrm{C}}_4^2$、全排列 ${\mathrm{A}}_2^2$，共 $144$ 种

避坑指南：先定空盒再分配

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材排列组合的分堆模型

结论推广：一般地，“恰有空盒”按球数分布分堆：先定空盒，再分配球数

方法推广：分堆分配

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-05 单-相邻元素的排列计数
• 1996-上海文-17A 填-相邻元素的排列计数
• 1997-上海文-16A 填-计数原理（过原点直线）