1996-全国卷文-17 填-正六边形顶点的三角形计数

本题导读

本题考查组合计数，以及从总数中减去三点共线的情形。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(文)） 正六边形的中心和顶点共 $7$ 个点，以其中 $3$ 个点为顶点的三角形共有$\underline{}$个.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 从 $7$ 个点中取 $3$ 个点，共 $C_7^3$ 种。
2. 减去三点共线的情形。

✅【答案】

Success

$32$

✍【详细解析】

Abstract

从 $7$ 个点中任取 $3$ 个点，有 $C_7^3=35$ 种。其中三点共线的情形有：过中心 $O$ 的 $3$ 条对角线，每条上恰有 $3$ 个点（两个相对顶点加中心），共 $3$ 组，这 $3$ 组不能构成三角形。故三角形的个数为 $35-3=32$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正六边形顶点的三角形计数

核心方法：$C_7^3=35$，减去三点共线的 3 种（每条过中心的对角线），得 $35-3=32$

避坑指南：总数减共线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材组合计数

结论推广：一般地，总数减三点共线数

方法推广：总数减共线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-15 单-四面体中共面的计数
• 1999-全国卷文-14 单-不定方程的选购计数
• 1998-全国卷文-10 单-分组分配的计数