1996-上海文-24 解-数列的通项与公共项

本题导读

本题考查数列通项与公共项，核心在于由前 $n$ 项和求通项、用二项式展开判定公共项。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(文)） 设 $A_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项的和，$A_n=\frac{3}{2}(a_n-1)$（$n\in \mathbf{N}$）.数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=4n+3$（$n\in \mathbf{N}$）.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)若 $d\in \{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n,\cdots \}\cap \{b_1,b_2,b_3,\cdots ,b_n,\cdots \}$，则称 $d$ 为数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的公共项.将数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列 $\{d_n\}$，证明数列 $\{d_n\}$ 的通项公式为 $d_n=3^{2n+1}$（$n\in \mathbf{N}$）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $A_n$ 与 $A_{n-1}$ 相减求 $a_n$。
2. 用二项式展开证明 $3^{2n+1}$ 是公共项且仅奇数项是。

✅【答案】

Success

(1) $a_n=3^n$（$n\in \mathbf{N}$）

(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)当 $n=1$ 时，$a_1=\frac{3}{2}(a_1-1)$，解得 $a_1=3$。当 $n⩾2$ 时，$a_n=A_n-A_{n-1}=\frac{3}{2}(a_n-1)-\frac{3}{2}(a_{n-1}-1)=\frac{3}{2}(a_n-a_{n-1})$，解得 $a_n=3a_{n-1}$，即 $\frac{a_n}{a_{n-1}}=3$（$n⩾2$）。数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $3$、公比为 $3$ 的等比数列，故 $a_n=3^n$（$n\in \mathbf{N}$）。 (2)（i）先证形如 $3^{2n+1}$（$n\in \mathbf{N}$）的数都是 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的公共项：因为 $a_{2n+1}=3^{2n+1}$，所以 $3^{2n+1}\in \{a_1,a_2,\cdots \}$；又 $3^{2n+1}=3\cdot 9^n=3(8+1{)}^n=3\left(8^n+{\mathrm{C}}_n^1{8}^{n-1}+\cdots +{\mathrm{C}}_n^n\right)=3(8t+1)=4(6t)+3$（其中 $t\in \mathbf{N}$），所以 $3^{2n+1}\in \{b_1,b_2,\cdots \}$。因此 $3^{2n+1}\in \{a_1,a_2,\cdots \}\cap \{b_1,b_2,\cdots \}$。 （ii）再证 $\{a_n\}$ 中除形如 $3^{2n+1}$（$n\in \mathbf{N}$）的项外，其它项都不是 $\{b_n\}$ 中的项：显然 $a_1=3$ 不是 $\{b_n\}$ 中的项；对任意偶数项 $a_{2n}=3^{2n}=(8+1{)}^n=8t+1=4(2t)+1$（$t\in \mathbf{N}$），也不是 $\{b_n\}$ 中的项。于是 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的公共项恰为 $a_3,a_5,a_7,\cdots ,a_{2n+1},\cdots$，所以 $d_n=a_{2n+1}=3^{2n+1}$（$n\in \mathbf{N}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的通项与公共项

核心方法：(1) $a_1=3$，$a_n=3a_{n-1}$，$a_n=3^n$；；(2) 公共项 $d_n=3^{2n+1}$；；(3) $r=\frac{3^{2n+1}-3}{4}$，$T_n=B_r-D_n$，$\lim \frac{T_n}{(a_n{)}^4}=\frac{9}{8}$

避坑指南：递推求通项 + 公共项构造

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列的通项与求和

结论推广：一般地，递推求通项，构造公共项

方法推广：递推求通项 + 公共项构造

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1996-上海理-24 解-数列的通项与公共项
• 1997-上海理-22 解-数列的通项与求和
• 1999-上海理-18 解-等比数列对数和的极限