1996-上海文-22B 解-抛物线的切线与面积

本题导读

本题考查抛物线的切线方程与面积比，核心在于导数求切线斜率、定积分求面积并证明面积比为常数。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(文)） （选做题，22A 与 22B 二选一）已知 $A(-1,2)$ 为抛物线 $C:y=2x^2$ 上的点，直线 $l_1$ 过点 $A$，且与抛物线 $C$ 相切.直线 $l_2:x=a$（$a\ne -1$）交抛物线 $C$ 于点 $B$，交直线 $l_1$ 于点 $D$.

(1)求直线 $l_1$ 的方程；

(2)设 $△ABD$ 的面积为 $S_1$，求 $|BD|$ 及 $S_1$ 的值；

(3)设由抛物线 $C$、直线 $l_1$、$l_2$ 所围成的图形的面积为 $S_2$，求证：$S_1:S_2$ 的值为与 $a$ 无关的常数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由导数求切线斜率，写出 $l_1$ 方程。
2. 联立求 $B,D$ 坐标，算 $|BD|$ 与 $S_1$。
3. 用定积分求 $S_2$，作比化简。

✅【答案】

Success

(1) $4x+y+2=0$

(2) $|BD|=2(a+1{)}^2$，$S_1=|a+1{|}^3$

(3) $S_1:S_2=3:2$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $y=2x^2$ 得 $y\prime =4x$。当 $x=-1$ 时，$y\prime =-4$，所以 $l_1$ 的方程为 $y-2=-4(x+1)$，即 $4x+y+2=0$。 (2)由 $y=2x^2$ 及 $x=a$，解得点 $B$ 的坐标为 $(a,2a^2)$。由 $4x+y+2=0$ 及 $x=a$，解得点 $D$ 的坐标为 $(a,-4a-2)$。又可求得 $A$ 到直线 $BD$ 的距离为 $|a+1|$，$|BD|=2a^2+4a+2=2(a+1{)}^2$。所以 $S_1=\frac{1}{2}\times 2(a+1{)}^2\times |a+1|=|a+1{|}^3$。 (3)由题意，当 $a>-1$ 时，$S_2={\int }_{-1}^a(2x^2+4x+2)dx=\left(\frac{2}{3}{x}^3+2x^2+2x\right){|}_{-1}^a=\frac{2}{3}(a+1{)}^3$；当 $a<-1$ 时，$S_2={\int }_a^{-1}(2x^2+4x+2)dx=-\frac{2}{3}(a+1{)}^3$。因此 $S_1:S_2=|a+1{|}^3:\frac{2}{3}|a+1{|}^3=3:2$，即 $S_1:S_2$ 的值为与 $a$ 无关的常数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的切线与面积

核心方法：(1) $y=2x^2$ 的 $y\prime =4x$，$x=-1$ 时 $y\prime =-4$，切线 $y-2=-4(x+1)$ 即 $4x+y+2=0$；；(2) $B(a,2a^2)$、$D(a,-4a-2)$，$|BD|=2a^2+4a+2=2(a+1{)}^2$，$S_1=|a+1{|}^3$；；(3) $S_2=\int (2x^2+4x+2)dx$，$S_1:S_2=3:2$

避坑指南：导数求切线 + 定积分求面积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材导数的几何意义

结论推广：一般地，导数求切线，定积分求面积

方法推广：导数求切线 + 定积分求面积

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1998-上海理-20 解-中点轨迹方程与面积
• 1999-上海理-22 解-椭圆与曲线的公共点及面积函数
• 1997-上海理-20B 解-旋转体体积与面积