1994-上海文-24 解-抛物线围成面积与动点轨迹

本题导读

本题考查定积分求面积与线段垂直平分线。核心在于联立求交点后用定积分求面积，并求垂直平分线方程。

📌【题干】

Question

（1994年上海卷(文)） 如图，抛物线 $y=3x^2$ 和 $y=-x^2+4ax$（$a>0$）交于原点 $O$ 和点 $A$.

(1)求这两条抛物线所围成的图形的面积；

(2)过点 $A$ 作抛物线 $y=-x^2+4ax$ 的切线，该切线与抛物线 $y=3x^2$ 交于另一点 $P$，求线段 $AP$ 的垂直平分线的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立求交点 $A$。
2. 用定积分求面积。
3. 求切线、交点 $P$、中点 $M$，再求垂直平分线。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{2}{3}{a}^3$

(2) $y=-\frac{1}{2a}x+\frac{5a^2}{3}+\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解方程组 $\{\begin{array}{l}y=3x^2\\ y=-x^2+4ax\end{array}$ 得交点 $A(a,3a^2)$。故面积 $S={\int }_0^a\left[(-x^2+4ax)-3x^2\right]dx={\int }_0^a(-4x^2+4ax)dx=\frac{2}{3}{a}^3$。 (2)由 $y=-x^2+4ax$ 得 $y\prime =-2x+4a$，点 $A$ 处切线斜率 $y\prime {|}_{x=a}=2a$，切线方程为 $y=2ax+a^2$。联立 $\{\begin{array}{l}y=2ax+a^2\\ y=3x^2\end{array}$ 得 $x=-\frac{a}{3}$、$y=\frac{a^2}{3}$，即 $P\left(-\frac{a}{3},\frac{a^2}{3}\right)$。设 $AP$ 中点 $M$，则 $M\left(\frac{a}{3},\frac{5a^2}{3}\right)$。因 $AP$ 斜率为 $2a$，故其垂直平分线斜率为 $-\frac{1}{2a}$，方程为 $y-\frac{5a^2}{3}=-\frac{1}{2a}\left(x-\frac{a}{3}\right)$，即 $y=-\frac{1}{2a}x+\frac{5a^2}{3}+\frac{1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线围成面积与动点轨迹

核心方法：(1) 联立得交点 $A(t,3t^2)$，面积 $S={\int }_0^t[(-x^2+4tx)-3x^2]dx={\int }_0^t(-4x^2+4tx)dx=\frac{2}{3}{t}^3$；(2) $A$ 处切线斜率 $y\prime {|}_{x=t}=-2t+4t=2t$，切线 $y=2tx+t^2$，与 $y=3x^2$ 交于 $P(-\frac{t}{3},\frac{t^2}{3})$，中点 $M(\frac{t}{3},\frac{5t^2}{3})$，消 $t$ 得 $y=15x^2$，轨迹为抛物线

避坑指南：定积分求面积 + 参数法求轨迹

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材定积分与轨迹

结论推广：一般地，定积分求面积、参数法求轨迹

方法推广：定积分求面积 + 参数法求轨迹

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1995-上海理-22B 解-二次函数与定积分等分面积
• 1996-上海文-22B 解-抛物线的切线与面积
• 1994-全国卷文-24 解-轨迹方程