1996-上海文-06 单-奇函数的充要条件

本题导读

本题考查函数奇偶性的充要条件，核心在于奇函数定义的等价形式。

📌【题干】

Question

（1996年上海卷(文)） 若 $y=f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数，则 $y=f(x)$ 为奇函数的一个充要条件为 ()

A. $f(0)=0$　B. 对任意的 $x\in \mathbf{R}$，$f(x)=0$ 都成立 C. 存在某一 $x_0\in \mathbf{R}$，使得 $f(x_0)+f(-x_0)=0$　D. 对任意的 $x\in \mathbf{R}$，$f(x)+f(-x)=0$ 都成立

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回忆奇函数的定义。
2. 判断哪一选项与定义等价。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$y=f(x)$ 为奇函数，等价于对任意的 $x\in \mathbf{R}$，都有 $f(-x)=-f(x)$，即 $f(x)+f(-x)=0$ 对一切 $x$ 成立，故 D 正确。A 中 $f(0)=0$ 只是必要条件（且要求 $0$ 在定义域内）；B 是常函数 $0$ 的充分条件但非必要；C 只要求存在一点满足，不足以保证对一切 $x$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数的充要条件

核心方法：奇函数充要条件是对任意 $x$，$f(x)+f(-x)=0$，选 D

避坑指南：奇函数定义的等价形式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数的奇偶性

结论推广：一般地，奇函数等价于对任意 $x$ 有 $f(x)+f(-x)=0$

方法推广：奇函数定义的等价形式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-13 单-奇偶函数与单调性的不等式
• 1999-全国卷文-05 单-奇函数与周期的判定
• 1998-上海文-12 单-周期与偶函数的判定