1995-全国卷文-26 解-椭圆中动点轨迹方程（向量比值定形）

本题导读

本题考查椭圆中的轨迹方程问题。核心在于沿射线设点 $Q=\mu P$、$R=\lambda P$，用距离条件定 $\mu ={\lambda }^2$ 后消参。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{16}=1$，直线 $l:x=12$.$P$ 是 $l$ 上一点，射线 $OP$ 交椭圆于点 $R$，又点 $Q$ 在 $OP$ 上且满足 $|OQ|\cdot |OP|=|OR{|}^2$，当点 $P$ 在 $l$ 上移动时，求点 $Q$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $P=(12,p)$，$R=\lambda P$ 代入椭圆解出 ${\lambda }^2$。
2. 由 $|OQ|\cdot |OP|=|OR{|}^2$ 得 $\mu ={\lambda }^2$，写出 $Q$ 的坐标。
3. 用 $p=12y/x$ 回代消参，注意 $x>0$。

✅【答案】

Success

$(x-1{)}^2+\frac{y^2}{2/3}=1$（$x>0$），轨迹是去掉左端点的椭圆

✍【详细解析】

Abstract

设 $P=(12,p)$，$p\in \mathbf{R}$。设射线 $OP$ 与椭圆的交点 $R=\lambda P$（$\lambda >0$），代入椭圆方程：$\frac{(12\lambda {)}^2}{24}+\frac{(p\lambda {)}^2}{16}=1$，即 ${\lambda }^2\left(6+\frac{p^2}{16}\right)=1$，故 ${\lambda }^2=\frac{1}{6+\frac{p^2}{16}}$。又 $Q$ 在射线 $OP$ 上，设 $Q=\mu P$（$\mu ⩾0$）。由 $|OQ|\cdot |OP|=|OR{|}^2$ 及 $|OQ|=\mu |OP|$、$|OR|=\lambda |OP|$，得 $\mu ={\lambda }^2$。于是 $Q=(x,y)$ 满足 $x=\frac{12}{6+\frac{p^2}{16}}$，$y=\frac{p}{6+\frac{p^2}{16}}$。显然 $x>0$，且由 $\frac{y}{x}=\frac{p}{12}$ 得 $p=\frac{12y}{x}$，代入 $x$ 的表达式：$\frac{12}{x}=6+\frac{9y^2}{x^2}$，即 $6x^2+9y^2=12x$，整理得 $(x-1{)}^2+\frac{y^2}{2/3}=1$，$x>0$。反之，该曲线上任一满足 $x>0$ 的点，取 $p=\frac{12y}{x}$ 即可按上述关系得到相应的 $P$，故这就是点 $Q$ 的完整轨迹。该轨迹是以 $(1,0)$ 为中心、长半轴为 $1$、短半轴为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 的椭圆，去掉左端点 $(0,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆中动点轨迹方程（向量比值定形）

核心方法：$R=\lambda P$ 代入椭圆得 ${\lambda }^2$；$\mu ={\lambda }^2$ 写 $Q$ 坐标，以 $p=\frac{12y}{x}$ 消参得 $(x-1{)}^2+\frac{y^2}{2/3}=1$（$x>0$）

避坑指南：共线设点参数化后消参

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材曲线与方程

结论推广：一般地，共线点列用 $Q=\mu P$、$R=\lambda P$ 参数化，距离条件定 $\mu$ 后消参

方法推广：参数化消参

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-25 解-直线与双曲线的位置关系
• 1997-上海文-21 解-直线与抛物线的位置关系
• 1996-上海文-23 解-双曲线的方程与距离